Question

Доказать, что при любом натуральном n число 10^n-4^n+3n делится на 9. (методом мат индукции)

Answer 1

Ответ: утверждение доказано.

Пошаговое объяснение:

1) Пусть n=1, тогда число 10^1-4^1+3*1=9 делится на 9.

2) Допустим, что при любом n=m число 10^m-4^m+3*m делится на 9, т.е. (10^m-4^m+3*m)/9=k, где k - целое число.

3) Докажем, что при переходе от m к m+1 число 10^(m+1)-4^(m+1)+3*(m+1) делится на 9. Так как 10^(m+1)-4^(m+1)+3*(m+1)=10*10^m-4*4^m+3*m+3=(10^m-4^m+3*m)+(9*10^m-3*3^m+3), то [10^(m+1)-4^(m+1)+3*(m+1)]/9=(10^m-4^m+3*m)/9+(9*10^m-3*4^m+3)/9=k+10^m-(4^m-1)/3. Нам остаётся доказать, что число 4^m-1 делится на 3. Для этого используем тот же метод математической индукции: при m=1 (4^1-1)/3=1, положим (4^m-1)/3=p, где p - целое число. Переходя к m+1, получаем число (4^m+3*4^m-1)/3=(4^m-1)/3+3*4^m/3=p+4^m=q - целое число. Этим и доказано, что число (4^m-1) делится на 3, то есть (4^m-1)/3=r - целое число. Тогда k+10^m-(4^m-1)/3=k+10^m+r - тоже целое число, а эти и доказано утверждение.    

Answer 2

Доказательство с использованием математической индукции

Для доказательства данного утверждения сначала проверим базовый случай, а затем предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, и покажем, что оно также верно и для k + 1.

Шаг 1: Базовый случай (n=1)

При n=1: \[10^1 - 4^1 + 3*1 = 10 - 4 + 3 = 9\]

Так как 9 делится на 9 без остатка, базовый случай подтверждает истинность утверждения.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть: \[10^k - 4^k + 3k\] делится на 9.

Шаг 3: Доказательство для k + 1

Теперь докажем, что утверждение также верно для k + 1: \[10^{k+1} - 4^{k+1} + 3(k+1)\]

Разложим выражение: \[10^{k+1} - 4^{k+1} + 3(k+1) = 10 \cdot 10^k - 4 \cdot 4^k + 3k + 3\]

Заменим \(10^k\) и \(4^k\) на выражения, которые делятся на 9 согласно предположению индукции: \[10 \cdot 10^k - 4 \cdot 4^k + 3k + 3 = 9m + 9n + 3k + 3\]

Где m и n - целые числа. Теперь мы видим, что \(10^{k+1} - 4^{k+1} + 3(k+1)\) представляется в виде суммы, которая делится на 9 (9m + 9n) и дополнительного члена 3k + 3, который также делится на 9, так как каждый член делится на 3. Следовательно, \(10^{k+1} - 4^{k+1} + 3(k+1)\) делится на 9.

Таким образом, утверждение верно для n = k + 1.

Заключение

Мы доказали, что при любом натуральном n выражение \(10^n - 4^n + 3n\) делится на 9 с использованием метода математической индукции.