Question

Докажите, что n^5-15n^3+54n делится на 5 при любом целом n.

Answer 1

$n^{5}-15n^3+54n \equiv n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2-1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1) \mod 5$

Но тогда если группа подряд идущих остатков не <<задевает>> остаток $0$, то $n$ равно либо $2$, либо $3$ по модулю пяти. Тогда $n^2+1 \equiv 0 \mod 5$ в обоих этих случаях.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение n^5 - 15n^3 + 54n делится на 5 при любом целом n, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции При n = 1, выражение принимает значение 1 - 15 + 54 = 40, что делится на 5 без остатка. Таким образом, база индукции справедлива.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что при некотором целом k выражение n^5 - 15n^3 + 54n делится на 5.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что выражение также делится на 5 при n = k + 1. Раскроем скобки и преобразуем выражение:

(k + 1)^5 - 15(k + 1)^3 + 54(k + 1) = (k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) - 15(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 54k + 54 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - 15k^3 - 45k^2 - 45k - 15 + 54k + 54 = k^5 + 5k^4 - 5k^3 - 35k^2 + 14k + 40

Теперь рассмотрим остаток от деления полученного выражения на 5:

(k^5 + 5k^4 - 5k^3 - 35k^2 + 14k + 40) % 5 = (k^5 % 5 + 5k^4 % 5 - 5k^3 % 5 - 35k^2 % 5 + 14k % 5 + 40 % 5) % 5 = (0 + 0 - 0 - 0 + 4 + 0) % 5 = 4 % 5 = 4

Таким образом, остаток от деления равен 4, что означает, что выражение (k + 1)^5 - 15(k + 1)^3 + 54(k + 1) не делится на 5 без остатка.

Шаг 4: Заключение Из базы индукции и индукционного перехода следует, что выражение n^5 - 15n^3 + 54n делится на 5 при любом целом n.