Question

Вычислите предел функции lim (2x^2)/(sin^2*3x) при x->0

Answer 1

Ответ:

Замена бесконечно малых величин эквивалентными им .

$\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{2x^2}{sin^23x}=\Big[\ sin\, \alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\alpha (x)\to 0\ \Big]=\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{2x^2}{3x\cdot 3x}=\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{2x^2}{9x^2}=\dfrac{2}{9}$

Answer 2

Для вычисления предела функции, необходимо использовать теоремы о пределах и арифметические свойства пределов. Давайте рассмотрим данный предел по шагам.

Первый шаг: Упрощение выражения

Исходная функция имеет вид: lim[(2x^2)/(sin^2(3x))] при x->0

Мы можем упростить выражение, используя замену sin^2(3x) = (1 - cos(6x))/2:

lim[(2x^2)/((1 - cos(6x))/2)] при x->0

Второй шаг: Приведение к общему знаменателю

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дроби:

lim[(4x^2)/((1 - cos(6x)))] при x->0

Третий шаг: Применение теоремы о пределе функции

Для вычисления данного предела, мы можем воспользоваться теоремой о пределе функции. В данном случае функция (4x^2)/((1 - cos(6x))) непрерывна в окрестности x=0, и знаменатель не обращается в ноль при x=0. Поэтому, мы можем просто подставить x=0 в функцию:

lim[(4(0)^2)/((1 - cos(6(0))))] = lim[0/1] = 0 при x->0

Ответ:

Предел функции lim[(2x^2)/(sin^2(3x))] при x->0 равен 0.