Question

2cos*2cos x+cos x-1=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то увидим, что уравнение является обычным квадратным, у которого вместо неизвестной переменной выступает тригонометрическая функция косинус. Подобные уравнения обычно решаются методом замены этой тригонометрической функции на любую переменную. Итак, выполним следующую замену:

Пусть {\cos  x\ }=z. При этом учитываем, что значения функции косинус определены на промежутке от —1 до 1. Следовательно и переменная z также может принимать только значения из указанного промежутка.

Подставим теперь вместо функции новую переменную в уравнение:

 \[{2z}^2+z-1=0\]

Решаем полученное уравнение с помощью вычисления его дискриминанта:

 \[D=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9\]

Находим корни:

 \[z_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1-3}{4}=-1\]

 \[z_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}\]

Оба корня входят в промежуток от —1 до 1.

Теперь нужно вернуться от выбранной переменной к тригонометрической функции и решить полученные уравнения.

Рассмотрим первый вариант корня:

 \[z_1=-1\]

 \[{\cos  x\ }=-1\]

 \[x=\pm \left(\pi-{\arccos  1\ }\right)+2\pi k\]

 \[x=\pm \left(\pi-0\right)+2\pi k\]

 \[x=\pm \pi+2\pi k\]

Рассмотрим второй вариант корня:

 \[z_2=\frac{1}{2}\]

 \[{\cos  x\ }=\frac{1}{2}\]

 \[x=\pm {\arccos  \frac{1}{2}\ }+2\pi n\]

 \[x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n\]

Переменные n и k принадлежат множеству Z.

Ответ. x=\pm \pi+2\pi k, x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n,\ k\in Z.

Answer 2

To solve the equation 2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0, we can substitute cos(x) = t and rewrite the equation as a quadratic equation in terms of t:

2t^2 + t - 1 = 0.

Now, we can solve this quadratic equation by factoring, completing the square, or using the quadratic formula. Let's use the quadratic formula:

t = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a),

where a = 2, b = 1, and c = -1.

Plugging in these values, we get:

t = (-1 ± sqrt(1^2 - 4(2)(-1))) / (2(2)) = (-1 ± sqrt(1 + 8)) / 4 = (-1 ± sqrt(9)) / 4 = (-1 ± 3) / 4.

This gives us two possible values for t:

1. t = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2,
2. t = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1.

Now, we substitute back t = cos(x) into each equation:

1. cos(x) = 1/2: We know that cos(x) = 1/2 when x = π/3 or x = 5π/3 (plus any integer multiple of 2π).

2. cos(x) = -1: We know that cos(x) = -1 when x = π (plus any integer multiple of 2π).

Therefore, the solutions to the equation 2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0 are: x = π/3 + 2πn, 5π/3 + 2πn, or π + 2πn, where n is an integer.