Question

Докажите, что если (n-1)!+1 делится на n, то n простое число.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Предположим, что число n - составное, т. е. n=k*m, где 1 < k < n. Тогда (n-1)! делится на k.

Следовательно, (n-1)!+1 не делится на k, а поэтому (n-1)!+1 не делится на n, что противоречит условию.

Таким образом, n не может быть составным, т. е. оно - простое.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что n не является простым числом, то есть n = a * b, где 1 < a, b < n. Тогда (n-1)! = 1 * 2 * 3 * ... * a * ... * b * ... * (n-1) делится на a и на b. Таким образом, (n-1)! делится на n = a * b.

Теперь рассмотрим случай, когда n - простое число. Тогда (n-1)! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) не будет содержать множителя, который делится на n, так как все множители в этом случае будут меньше n. Следовательно, (n-1)! + 1 не будет делиться на n.

Таким образом, мы доказали, что если (n-1)! + 1 делится на n, то n является простым числом.