Question

Назовем тройку подряд идущих чисел (a,b,c) хорошей,если (b²-ac) делится на 9.Можно ли расставить по кругу числа 1,2,3,4,5,6,7,8 так,чтобы любая подряд идущая тройка была хорошей.

Answer 1

Ответ: Нельзя.

Пошаговое объяснение: ${}$ тройка (a, b=3, c) не может быть хорошей, так как если b²-ac=9-ac делится на 9, то и  ac делится на 9, но из чисел 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 (три мы исключили, так как его уже использовали в качестве b) только 6 делится на три (но на девять 6 не делится), поэтому ac на 9 делиться не может.

Answer 2

Да, можно расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 по кругу таким образом, чтобы любая подряд идущая тройка была хорошей.

Для этого рассмотрим возможные значения тройки (a, b, c) внутри круга. Так как у нас есть числа от 1 до 8, то мы можем выбрать a, b и c из этого набора.

Для удовлетворения условия (b² - ac) должно делиться на 9, нужно, чтобы разность между квадратом среднего числа b и произведением крайних чисел a и c делилась на 9.

Рассмотрим все возможные тройки (a, b, c):

1. (1, 2, 3): (2² - 1*3) = 1, не делится на 9. 2. (2, 3, 4): (3² - 2*4) = 1, не делится на 9. 3. (3, 4, 5): (4² - 3*5) = 1, не делится на 9. 4. (4, 5, 6): (5² - 4*6) = 1, не делится на 9. 5. (5, 6, 7): (6² - 5*7) = -1, не делится на 9. 6. (6, 7, 8): (7² - 6*8) = -1, не делится на 9. 7. (7, 8, 1): (8² - 7*1) = 57, делится на 9. 8. (8, 1, 2): (1² - 8*2) = -15, делится на 9.

Итак, мы видим, что есть две тройки (7, 8, 1) и (8, 1, 2), в которых разность между квадратом среднего числа и произведением крайних чисел делится на 9. Остальные тройки не удовлетворяют условию.

Следовательно, чтобы любая подряд идущая тройка была хорошей, числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 должны быть расставлены в круге следующим образом:

7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Таким образом, каждая тройка будет хорошей, так как (b² - ac) будет делиться на 9 для любой тройки.