Question

В геометрической прогрессии b2=2, b8=384. Найдите b1 , q и S12.​

Answer 1

Ответ:

Выразим b2, b3 через b1 и q.

b2 = b1 * q.

b3 = b1 * q2.

Тогда: b1 * (1 + q + q2) = 14.

b1 = 14 / (1 + q + q2). (1)

b22 = b12 * q2.

b32 = b12 * q2.

b12 * (1 + q2 + q4) = 84. (2)

Подставим уравнение 1 в 2.

(196 / (1 + q + q2)2) * (1 + q2 + q4) = 84.

Заменим (1 + q2 + q4) на (1 – q + q2) * (1 + q + q2).

(7 / (1 + q + q2)2) * (1 – q + q2) * (1 + q + q2) = 3

(7 / (1 + q + q2)) * (1 – q + q2) = 3

7 * (1 – q + q2) = 3 * (1 + q + q2).

7 – 7 * q + 7 * q2 = 3 + 3 * q + 3 * q2.

4 * q2 – 10 * q + 4 = 0.

2 * q2 – 5 * q + 2 = 0.

Решим квадратное уравнение.

q1 = 2.

q2 = 1/2.

b1 = 14 / (1 + 2 + 4) = 14/7 = 2.

b2 = 14 / (1 + 0,5 + 0,25) = 8.

Ответ: При q = 2, b1 = 2, при q = 1/2, b1 = 8.

Answer 2

Дано: b2 = 2 и b8 = 384.

Общий член геометрической прогрессии выражается формулой:

bn = b1 * q^(n-1),

где bn - n-й член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Мы можем использовать данную формулу для нахождения b1 и q.

Используем данное условие: b2 = 2.

Подставляем значения в формулу для b2:

b2 = b1 * q^(2-1) = b1 * q.

Теперь используем другое условие: b8 = 384.

Подставляем значения в формулу для b8:

b8 = b1 * q^(8-1) = b1 * q^7.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. b2 = b1 * q,
2. b8 = b1 * q^7.

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от b1:

(b1 * q^7) / (b1 * q) = 384 / 2, q^6 = 192.

Теперь возведем оба уравнения в степень 1/6, чтобы изолировать q:

(q^6)^(1/6) = 192^(1/6), q = 2.

Теперь, когда у нас есть значение q, мы можем найти b1. Подставим значение q в первое уравнение:

b2 = b1 * q, 2 = b1 * 2, b1 = 1.

Таким образом, мы нашли b1 = 1 и q = 2.

Чтобы найти S12 (сумму первых 12 членов прогрессии), используем формулу суммы геометрической прогрессии:

S12 = b1 * (1 - q^12) / (1 - q).

Подставляем значения b1 = 1 и q = 2:

S12 = 1 * (1 - 2^12) / (1 - 2).

Упрощаем выражение:

S12 = (1 - 4096) / (-1).

S12 = -4095.

Таким образом, b1 = 1, q = 2 и S12 = -4095.