Question

Найдите все тройки вещественных положительных чисел х, у и z для которых одновременно выполняются равенства x+y+z= 6 и 1/x+1/y+1/z=2-4/xyz​

Answer 1

Ответ:

(2, 2, 2)

Пошаговое объяснение:

По условию числа положительны, значит, к данным равенствам применимы неравенства о средних, в частности: среднее арифметическое ≥ среднее геометрическое, среднее арифметическое ≥ среднее гармоническое. В формулах это будет выглядеть следующим образом:

$\dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}\ (1)\\\dfrac{x+y+z}{3}\geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\ (2)$

Рассмотрим неравенство (1). Сумма известна и равна 6, тогда:

$\dfrac{6}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}\\ 2\geq \sqrt[3]{xyz}\\2^3\geq (\sqrt[3]{xyz})^3\\xyz\leq 8$

Используем полученное неравенство для оценки правой части второго равенства:

$xyz\leq 8\\\dfrac{1}{xyz}\geq \dfrac{1}{8}\\-\dfrac{4}{xyz}\leq -\dfrac{1}{2}\\2-\dfrac{4}{xyz}\leq \dfrac{3}{2}$

Рассмотрим неравенство (2):

$\dfrac{6}{3}\geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\\\dfrac{2}{3}\geq \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geq \dfrac{3}{2}$

Получается, что левая часть второго равенства не меньше $\dfrac{3}{2}$, а правая — не больше $\dfrac{3}{2}$. Значит, чтобы равенство выполнялось, обе части должны быть равны $\dfrac{3}{2}$. Но это значит, что все неравенства обращаются в равенства. Это возможно только тогда, когда x = y = z. Из первого равенства получаем, что x + y + z = x + x + x = 3x = 6, тогда x = y = z = 2.

Answer 2

Дано два уравнения:

1. x + y + z = 6
2. 1/x + 1/y + 1/z = 2 - 4/xyz

Давайте решим их последовательно.

Сначала рассмотрим уравнение 2. Умножим обе его части на xyz, чтобы избавиться от знаменателя:

xyz * (1/x + 1/y + 1/z) = (2 - 4/xyz) * xyz

После упрощения получим:

yz + xz + xy = 2xyz - 4

Теперь мы можем использовать первое уравнение, чтобы избавиться от одной переменной и свести задачу к двум переменным.

Выразим, например, x через y и z из первого уравнения:

x = 6 - y - z

Подставим это во второе уравнение:

(6 - y - z) * y + (6 - y - z) * z + yz = 2yz(6 - y - z) - 4

Раскроем скобки:

6y - y^2 - yz + 6z - yz - z^2 + yz = 12yz - 2y^2z - 2yz^2 - 4

Сгруппируем подобные члены:

y^2z + yz^2 + 2y^2z + 2yz^2 + yz - 12yz + y^2 + z^2 + 4 = 0

3y^2z + 3yz^2 + yz - 12yz + y^2 + z^2 + 4 = 0

После упрощения это уравнение может быть записано в следующем виде:

3yz(y + z) + yz - 12yz + y^2 + z^2 + 4 = 0

Раскроем скобки:

3yz^2 + 3y^2z + yz + y^2 + z^2 - 9yz + 4 = 0

Теперь мы имеем уравнение от двух переменных y и z.

Это уравнение нелинейно и решение требует численных методов или графического анализа. Чтобы найти все тройки вещественных положительных чисел x, y и z, удовлетворяющие данной системе уравнений, требуется более подробный анализ или использование численных методов, таких как метод Ньютона или метод подстановки.