Question

На сколько нулей оканчивается произведение первых 100 простых чисел?

Answer 1

Количество нулей на конце числа зависит от количества двоек и пятерок в разложении этого числа на простые множители.

Учитывая, что ноль на конце числа соответствует множителю 10, а $10=2\cdot5$, можно сформулировать правило: количество нулей на конце числа равно наименьшему из количеств двоек или пятерок, входящих в разложение этого числа на простые множители.

Рассмотрим произведение первых 100 простых чисел:

$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot\ldots\cdot p_{100}$

Учитывая, что это число уже представлено в виде разложения на простые множители и оно содержит только одну двойку и одну пятерку, то оно оканчивается на один ноль.

Ответ: на один ноль

Answer 2

Чтобы определить, на сколько нулей оканчивается произведение первых 100 простых чисел, необходимо посчитать максимальную степень числа 10, на которую делится это произведение. Поскольку 10 = 2 * 5, нам нужно найти, сколько раз встречается 2 и 5 в произведении.

Заметим, что каждое второе число является четным и содержит множитель 2. Таким образом, в произведении первых 100 простых чисел будет присутствовать 50 множителей 2.

Что касается множителя 5, в первых 100 простых числах встречаются следующие числа, являющиеся кратными 5: 5, 10, 15, ..., 95. Всего таких чисел будет 20.

Таким образом, у нас есть 50 множителей 2 и 20 множителей 5 в произведении первых 100 простых чисел.

Чтобы определить, сколько нулей оканчивается произведение, необходимо найти минимальное значение из количества множителей 2 и 5. В данном случае это 20.

Таким образом, произведение первых 100 простых чисел оканчивается на 20 нулей.