Question

Скільки пар натуральних чисел х і у задовольняють рівність ху=х+2у+2022​

Answer 1

Ответ:

16

Пошаговое объяснение:

Преобразуем:                          (x-2)(y-1)=2024.

При этом x-2 - целое число, не меньшее - 1, y-1 целое число, не меньшее 0. Если x-2=-1, то y-1=-2024, что невозможно. Также не подходят случаи, когда x-2=0 или y-1=0, поскольку в этом случае произведение (x-2)(y-1) равно нулю. Вывод: x-2 и y-1 - натуральные числа, поэтому задача сводится к поиску различных разложений числа 2024 на натуральные множители.

Имеем:      

                   2024=2·1012=2·2·506=2·2·2·253=2·2·2·11·23.

Иными словами,        

                                         $2024=2^3\cdot 11\cdot 23$ -

разложение на простые множители.

Количество пар натуральных чисел (x-2) и (y-1) совпадает с количеством натуральных делителей числа 2024 (если x-2 - делитель, то

                                           $y-1=\dfrac{2024}{x-2}$  

тоже делитель).

Каждый делитель числа 2024 имеет вид

                                             $2^k\cdot 11^m\cdot 23^n,$

где

                           $k\in\{0;\ 1;\ 2;\ 3\};\ m\in \{0;\ 1\};\ n\in\{0;\ 1\}.$

В частности,      $1=2^0\cdot 11^0\cdot 23^0;\ 2=2^1\cdot 11^0\cdot 23^0$, и так далее.

Итак, для k есть 4 возможности, для m  и n - по две возможности, поэтому всего  

                                                $4\cdot 2\cdot 2=16$

делителей числа 2024, и столько же пар натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству xy=x+2y+2022.

Answer 2

Давайте розглянемо дане рівняння: ху = х + 2у + 2022.

Перенесемо всі терміни, що містять змінні, на одну сторону:

ху - х - 2у = 2022.

Тепер факторизуємо рівняння:

х(у - 1) - 2(у + 1) = 2022.

Розкриємо дужки:

ху - х - 2у + 2 = 2022.

Перенесемо 2022 на другий бік:

ху - х - 2у = 2020.

Ми отримали лінійне діофантове рівняння з двома невідомими x і y. Давайте розглянемо всі можливі пари натуральних чисел (x, y), які задовольняють цьому рівнянню.

Зауважимо, що у лівій частині рівняння ми маємо добуток двох чисел. Тому, щоб знайти всі пари чисел (x, y), які задовольняють рівнянню, нам потрібно розкласти число 2020 на всі можливі добутки двох натуральних чисел.

Число 2020 можна розкласти на наступні способи:

2020 = 1 * 2020, 2020 = 2 * 1010, 2020 = 4 * 505, 2020 = 5 * 404, 2020 = 10 * 202, 2020 = 20 * 101.

Отже, є шість можливих пар натуральних чисел (x, y), які задовольняють рівнянню ху = х + 2у + 2022:

(x, y) може бути (1, 2020), (2, 1010), (4, 505), (5, 404), (10, 202), або (20, 101).