Question

Вершины треугольника имеют координаты А(5, 2, -4), В(9,-8,-3), С(16,-6,-11). Найти угол, образованный сторонами (АВ) и (АС).

Answer 1

Ответ: α=45°

Пошаговое объяснение:

Найдем координаты векторов АВ и АС

АВ=(9-5, -8-2, -3-(-4)) = (4;-10;1)    AC(11; -8; -7)

Найдем длины АВ и АС

IАВI= $\sqrt{4^{2} +( -10)^2 +1^2} = \sqrt{117}$

IACI=$\sqrt{11^2+8^2+7^2}=\sqrt{121+49+64} =\sqrt{234}$

=> IACI*IBCI*cosα= 4*11+(-10)*(-8) +1*(-7)=44+80-7=117

=>√117√234*cosα=117 => √2*cosα=1

=> cosα=1/√2

=> α=45°

Answer 2

Для нахождения угла между векторами (AB) и (AC) можно использовать скалярное произведение векторов.

Вектор AB можно получить вычитанием координат точки A из координат точки B:

AB = B - A = (9, -8, -3) - (5, 2, -4) = (4, -10, 1).

Аналогично, вектор AC можно получить вычитанием координат точки A из координат точки C:

AC = C - A = (16, -6, -11) - (5, 2, -4) = (11, -8, -7).

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и AC:

AB · AC = (4, -10, 1) · (11, -8, -7) = 4 * 11 + (-10) * (-8) + 1 * (-7) = 44 + 80 - 7 = 117.

Длины векторов AB и AC можно найти с помощью формулы длины вектора:

|AB| = √(4^2 + (-10)^2 + 1^2) = √(16 + 100 + 1) = √117 = 10.82,

|AC| = √(11^2 + (-8)^2 + (-7)^2) = √(121 + 64 + 49) = √234 = 15.30.

Теперь мы можем использовать скалярное произведение и длины векторов, чтобы найти угол между ними:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) = 117 / (10.82 * 15.30) ≈ 0.758.

Угол θ можно найти, взяв обратный косинус (арккосинус) этого значения:

θ ≈ arccos(0.758) ≈ 0.723 радиан ≈ 41.45 градусов.

Таким образом, угол, образованный сторонами (АВ) и (АС), примерно равен 41.45 градусов.