Question

Клетчатый бумажный квадрат 8×8 согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1×1. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон квадратика. На сколько частей мог при этом распасться квадрат?

Answer 1

Пусть разрез проходил вертикально. Проведём во всех квадратиках 1×1 вертикальные отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (красные линии на рисунке). При сгибании по линиям клеток эти отрезки накладываются друг на друга. Следовательно, при разрезании разрезаются они и только они. При этом получится 9 частей. 
Ответ: 9 частей.

Answer 2

Если согнуть клетчатый бумажный квадрат 8x8 по линиям клеток, то получим 9 горизонтальных линий и 9 вертикальных линий, образующих 10 строк и 10 столбцов клеток. Квадратик 1x1 будет располагаться в середине получившегося квадрата, на пересечении пятой горизонтальной и пятой вертикальной линий.

Разрезав квадратик по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон, мы получим две части. Однако, если посмотреть на внутренние линии сгибов, то можно заметить, что эти линии делят квадрат на 4 прямоугольника, каждый из которых может быть разрезан по диагонали, соединяющей противоположные углы, на две части.

Таким образом, исходный квадрат может распасться на 2+4=6 частей.