Question

Из середины ребра A′B′ куба ABCDA′B′C′D′ провели прямую, которая пересекает прямую CD в некоторой точке E, а также пересекает прямую, проходящую через середины ребер AD и DD′. Найдите длину отрезка DE, если сторона куба равна 24.

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

Р - середина ребра А'В'.

Пересекающиеся прямые РЕ и CD задают плоскость, которая пересекает основание ABCD по прямой CD.

Параллельные плоскости пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым.

(А'В'С')║(АВС), значит линия пересечения (РСЕ) и (А'В'С'), проходящая через точку Р, должна быть параллельна CD. Это ребро A'В'.

Итак, плоскость (РСЕ) пересекает грань AA'D'D по прямой A'D.

М и К - середины ребер AD и DD'. Прямая МК пересекает A'D в точке О. И только в этой точке прямая РЕ может пересечь прямую МК.

МК - средняя линия треугольника AD'D, значит О делит пополам O'D, тогда OD = 1/4 A'D.

ΔA'PO ` ΔDEO по двум углам (∠PA'O = ∠EDO = 90°, углы при вершине О равны, как вертикальные), тогда

$\dfrac{DE}{A'P}=\dfrac{OD}{OA'}$

$\dfrac{DE}{12}=\dfrac{1}{3}$

DE = 12/3 = 4

Answer 2

Обозначим середины рёбер куба следующим образом: $M$ — середина ребра $AB$, $N$ — середина ребра $AD$, $P$ — середина ребра $DD'$.

Так как точка $E$ лежит на прямой $CD$, то треугольники $ECD$ и $BCD$ подобны с коэффициентом $2$. Значит, $CE = \frac{2}{3} CD = 8$.

Также заметим, что точки $M, E$ и $P$ лежат на одной прямой, так как все они лежат в плоскости, проходящей через центр куба и параллельной граням $ABCD$ и $A'B'C'D'$. Поэтому $ME = EP$.

Треугольник $MEN$ — это прямоугольный треугольник с катетами $12$, так как $MN = \frac12 AD = 12$. Из этого следует, что $NE = MN/\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $CED$. Мы можем найти угол $\angle CED$ с помощью теоремы косинусов: $\cos \angle CED = \frac{CE^2 + ED^2 - CD^2}{2 \cdot CE \cdot ED}.$ Заменяя известные значения, получаем: $\cos \angle CED = \frac{8^2 + (DE - 6\sqrt{2})^2 - 24^2}{2 \cdot 8 \cdot (DE - 6\sqrt{2})}.$ Решая уравнение относительно $DE$, получаем $DE = \boxed{10}$.