Question

Сумма трёх натуральных чисел равна 878. На какое наибольшее кол-во нулей может оканчиваться их произведение?

Answer 1

10 = 2 · 5

Чтобы произведение натуральных чисел оканчивалось на нули, нужно, чтобы эти числа содержали как можно больше пар делителей 2 и 5, которые при умножении дают на конце нули.

5¹=5;    5²=25;    5³=125;     5⁴=625

2¹=2;  2²=4;  2³=8;  2⁴=16;  2⁵=32;  2⁶=64;  2⁷=128;  2⁸=256;  2⁹=512

Из полученных степеней несложно составить сумму 878.

625 + 125 + 128 = 878

625 · 125 · 128 = 5⁴ · 5³ · 2⁷ = (5 · 2)⁷ = 10⁷ = 10 000 000

Ответ : на 7 нулей.

Answer 2

Чтобы произведение трех натуральных чисел оканчивалось на наибольшее возможное количество нулей, нужно выбрать числа, содержащие максимальное количество множителей 2 и 5.

Разложим число 878 на простые множители: 878 = 2 * 439.

Чтобы получить максимальное количество нулей в произведении, нужно иметь достаточное количество двоек и пятерок. Поскольку множитель 2 встречается чаще, чем множитель 5 в разложении числа 878, мы можем сосредоточиться на максимизации количества пятерок.

Поскольку произведение трех чисел должно быть равно 878, мы можем выбрать числа вида 2^a * 5^b * 439, где a и b - целые неотрицательные числа, такие что a + b <= 3.

Рассмотрим все возможные комбинации значений a и b:

1. a = 0, b = 0: Третье число равно 878. Произведение оканчивается на 0 нулей.
2. a = 1, b = 0: Третье число равно 439. Произведение также оканчивается на 0 нулей.
3. a = 2, b = 0: Третье число равно 219. Произведение оканчивается на 0 нулей.
4. a = 3, b = 0: Третье число равно 109. Произведение оканчивается на 0 нулей.
5. a = 0, b = 1: Третье число равно 439 * 5 = 2195. Произведение оканчивается на 1 ноль.
6. a = 1, b = 1: Третье число равно 439 * 25 = 10975. Произведение оканчивается на 2 нуля.
7. a = 2, b = 1: Третье число равно 219 * 5 = 1095. Произведение также оканчивается на 2 нуля.
8. a = 0, b = 2: Третье число равно 439 * 25 = 2195. Произведение оканчивается на 2 нуля.
9. a = 1, b = 2: Третье число равно 439 * 125 = 54875. Произведение оканчивается на 3 нуля.
10. a = 0, b = 3: Третье число равно 439 * 625 = 274375. Произведение оканчивается на 3 нуля.

Таким образом, наибольшее количество нулей, на которое