Question

В угол М вписана окружность с центром в точке О, которая касается сторон угла в точках В и С. Найдите величину угла ВМС, если величина угла ВОС равна 105градусов

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Касательные ВМ и СМ образуют с радиусом угол 90°.
ΔОВМ = ΔОСМ
∠α = ∠ВОС/2 = 105°/2 = 52,5°
Сумма углов треугольника равна 180° (аксиома).
∠β = ∠ВМО = 180° - 90° - ∠α = 37,5° - половина нужного нам угла.
∠ВМС = 2*∠β = 37,5*2 = 75° - ОТВЕТ
Можно и по другому.
Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°
1) ∠ВМС = 180° - ∠ВОС = 180 - 105 = 75° - ОТВЕТ в одну строчку.
Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Чтобы найти величину угла ВМС, нам понадобится знание о свойствах вписанных углов и касательных.

Вписанный угол, опирающийся на одну дугу, имеет половину меры этой дуги. Также известно, что угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине центрального угла, соответствующего этой хорде.

Дано, что угол ВОС равен 105 градусам. Так как окружность касается сторон угла М в точках В и С, то хорда, соединяющая эти точки, будет диаметром окружности. Пусть точка М - середина этого диаметра.

Таким образом, угол ВМС будет половиной центрального угла, опирающегося на дугу BC.

Угол ВОС - половина центрального угла дуги BC, поэтому центральный угол, соответствующий дуге BC, равен 2 * 105 = 210 градусов.

Так как угол ВМС - половина центрального угла дуги BC, то угол ВМС равен 210 / 2 = 105 градусов.

Таким образом, величина угла ВМС составляет 105 градусов.