Question

Докажите тождество: sin105*sin205=0. 25

Answer 1

Sin105*sin205=0.25
sin(60+45)*sin205=0,25
sin(60+45)=sin60*cos45+sin45*cos60
√3/2*1/√2+1/√2*1/2*sin205=0,25
√3/2√2 + √2/2 * sin 205=0,25
√3+4/2√2 * sin205=0,25
sin205= 0,5√2 /√3+4
√3/2*1/√2+1/√2*1/2 * 0,5√2 /√3+4 = 0,25
√3+4/2√2 *0,5√2 /√3+4 = 0,25
0,5√2/2√2 = 0,25
0,5/2 = 0,25
0,25 = 0,25

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся формулой произведения синусов:

sin(a) * sin(b) = (1/2) * [cos(a - b) - cos(a + b)]

Подставим значения a = 105 и b = 205 в данную формулу:

sin(105) * sin(205) = (1/2) * [cos(105 - 205) - cos(105 + 205)]

Упростим разности и суммы внутри косинусов:

= (1/2) * [cos(-100) - cos(310)]

Заметим, что cos(-100) = cos(260), так как косинус имеет период 360 градусов. Также, cos(310) = cos(310 - 360) = cos(-50), по той же причине.

Теперь у нас получается:

= (1/2) * [cos(260) - cos(-50)]

Используем свойство четности косинуса: cos(-x) = cos(x). Тогда:

= (1/2) * [cos(260) - cos(50)]

Поскольку 260 градусов находится в третьем квадранте, а 50 градусов — в первом, значения косинуса для этих углов равны:

= (1/2) * [-0.173648 - 0.642788]

= (1/2) * [-0.816436]

= -0.408218

Таким образом, sin(105) * sin(205) = -0.408218, а не 0.25.