Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! Дано точки   А (0; 0),   В (1; 3),  С (4; 4),   Д (3; 1). Довести, що чотирикутник  АВСД  - ромб.

Answer 1

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є ромбом, нам потрібно перевірити дві умови:

1. Усі сторони чотирикутника повинні бути однакової довжини. 2. Діагоналі чотирикутника повинні перетинатися під прямим кутом.

Спочатку перевіримо довжини сторін чотирикутника ABCD, використовуючи координати заданих точок.

Довжина сторони AB: \[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

Довжина сторони BC: \[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\]

Довжина сторони CD: \[CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}\]

Довжина сторони DA: \[DA = \sqrt{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2}\]

Розрахуємо ці значення:

1. \(AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\) 2. \(BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\) 3. \(CD = \sqrt{(3 - 4)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}\) 4. \(DA = \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\)

Отже, усі сторони мають однакову довжину, а саме \(\sqrt{10}\).

Тепер перевіримо, чи перетинаються діагоналі під прямим кутом. Для цього можна використати властивість косинуса кута між векторами.

Вектор \(\overrightarrow{AC}\) має координати \((x_C - x_A, y_C - y_A)\), а вектор \(\overrightarrow{BD}\) має координати \((x_D - x_B, y_D - y_B)\).

Кут між векторами можна знайти за допомогою формули: \[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{\|\overrightarrow{AC}\| \cdot \|\overrightarrow{BD}\|}\]

Якщо \(\cos(\theta) = 0\), то діагоналі перетинаються під прямим кутом.

Розрахуємо це значення:

\[\cos(\theta) = \frac{(x_C - x_A)(x_D - x_B) + (y_C - y_A)(y_D - y_B)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}\]

Підставимо значення координат:

\[\cos(\theta) = \frac{(4 - 0)(3 - 1) + (4 - 0)(1 - 3)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{8 - 8}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{0}{10}\]

Отже, \(\cos(\theta) = 0\), що підтверджує, що діагоналі перетинаються під прямим кутом.

Таким чином, ми підтвердили обидві умови ромба, отже, чотирикутник ABCD є ромбом.