Question

1) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О-центр основания, S- вершина, SO=15, BD=16. Найдите боковое ребро SA. 2) в правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро АА1 равно 15, а диагональ ВD1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки АА1 и С.

Answer 1

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по очереди.

Задача 1:

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) точка \(O\) — центр основания, \(S\) — вершина, \(SO = 15\), \(BD = 16\). Нам нужно найти боковое ребро \(SA\).

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(SBO\):

\[SB^2 = SO^2 + BO^2\]

Из условия задачи \(SO = 15\), и так как \(BD\) — диагональ основания, то \(BO = BD/2 = 8\). Подставим значения:

\[SB^2 = 15^2 + 8^2\]

\[SB^2 = 225 + 64\]

\[SB^2 = 289\]

\[SB = 17\]

Таким образом, боковое ребро \(SA\) равно 17.

Задача 2:

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AA_1\) равно 15, а диагональ \(BD_1\) равна 17. Нам нужно найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки \(AA_1\) и \(C\).

Поскольку призма правильная, основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — квадраты, и углы между боковыми гранями прямые. Таким образом, сечение будет прямоугольником, а его стороны будут равны \(AA_1\) и \(BC\).

Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле:

\[Площадь = Длина \times Ширина\]

\[Площадь = AA_1 \times BC\]

\[Площадь = 15 \times BC\]

Теперь нам нужно найти длину \(BC\). Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(BDD_1\):

\[BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2\]

\[17^2 = 15^2 + DD_1^2\]

\[289 = 225 + DD_1^2\]

\[DD_1^2 = 289 - 225\]

\[DD_1^2 = 64\]

\[DD_1 = 8\]

Таким образом, \(BC = DD_1 = 8\). Теперь мы можем найти площадь сечения:

\[Площадь = 15 \times 8 = 120\]

Ответ: Площадь сечения призмы равна 120.