Question

Найдите отношение площадей двух треугольников, если стороны одного равны 2 см, 3 см, 4 см, а стороны другого 10 см, 15 см, 20 см.

Answer 1

Отношение площадей двух треугольников можно найти, используя формулу для площади треугольника Герона. Формула Герона выглядит следующим образом:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

где \( S \) - площадь треугольника, \( p \) - полупериметр треугольника, \( a, b, c \) - длины сторон треугольника.

Давайте обозначим треугольники как треугольник \(ABC\) с сторонами \(a_1 = 2\), \(b_1 = 3\), \(c_1 = 4\) и треугольник \(XYZ\) с сторонами \(a_2 = 10\), \(b_2 = 15\), \(c_2 = 20\).

1. Найдем полупериметры для каждого треугольника:

Для треугольника \(ABC\): \[ p_1 = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{2} \]

Для треугольника \(XYZ\): \[ p_2 = \frac{a_2 + b_2 + c_2}{2} \]

2. Подставим значения в формулу Герона для каждого треугольника, чтобы найти их площади:

Для треугольника \(ABC\): \[ S_1 = \sqrt{p_1 \cdot (p_1 - a_1) \cdot (p_1 - b_1) \cdot (p_1 - c_1)} \]

Для треугольника \(XYZ\): \[ S_2 = \sqrt{p_2 \cdot (p_2 - a_2) \cdot (p_2 - b_2) \cdot (p_2 - c_2)} \]

3. Найдем отношение площадей:

\[ \text{Отношение} = \frac{S_1}{S_2} \]

Теперь давайте вычислим значения:

Для треугольника \(ABC\): \[ p_1 = \frac{2 + 3 + 4}{2} = \frac{9}{2} \]

\[ S_1 = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \left(\frac{9}{2} - 2\right) \cdot \left(\frac{9}{2} - 3\right) \cdot \left(\frac{9}{2} - 4\right)} \]

\[ S_1 = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} \]

\[ S_1 = \sqrt{\frac{135}{8}} = \frac{\sqrt{135}}{2} = \frac{3\sqrt{15}}{2} \]

Для треугольника \(XYZ\): \[ p_2 = \frac{10 + 15 + 20}{2} = \frac{45}{2} \]

\[ S_2 = \sqrt{\frac{45}{2} \cdot \left(\frac{45}{2} - 10\right) \cdot \left(\frac{45}{2} - 15\right) \cdot \left(\frac{45}{2} - 20\right)} \]

\[ S_2 = \sqrt{\frac{45}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}} \]

\[ S_2 = \sqrt{\frac{84375}{32}} = \frac{\sqrt{84375}}{4} = \frac{75\sqrt{15}}{8} \]

Теперь найдем отношение площадей:

\[ \text{Отношение} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{3\sqrt{15}}{2}}{\frac{75\sqrt{15}}{8}} \]

\[ \text{Отношение} = \frac{8 \cdot 3}{2 \cdot 75} = \frac{24}{150} = \frac{4}{25} \]

Таким образом, отношение площадей треугольников \(ABC\) и \(XYZ\) равно \(\frac{4}{25}\).