Question

Два одинаковые круга, которые касаются друг друга, вписанные в острые углы прямоугольного треугольника. Площади этих кругов в сумме равны площади круга, вписанного в треугольник. Найти острые углы этого треугольника.

Answer 1

См. чертеж.
MK - общая касательная двух окружностей. N - точка пересечения BC и MK.
1) Прямоугольные треугольники BMN и MKA имеют равные углы, то есть подобны. Поскольку радиусы вписанных окружностей у них равны, эти треугольники равны между собой. То есть BM = MK.
2) Треугольник MKA подобен исходному треугольнику ABC, но его радиус r1 вписанной окружности в √2 меньше (радиусы связаны по условию 2*π(r1)^2 = πr^2).
отсюда и стороны MKA в √2 раз меньше сторон ABC.
Если обозначить AB = c; AC = b; BC = a; ∠CAB = α; то
MK = a/√2; BM = AB - AM = c - b/√2;
Отсюда a/c + b/c = √2; или sin(α) + cos(α) = √2;
Если возвести это в квадрат, получится sin(2α) = 1; то есть α = π/4;

Answer 2

      Другая идея решения,  проведем  общую касательную  к окружностям , получим что один их треугольников вписанный , тогда его  центр окружности $O$ лежит на  биссектрисе , так как и  у  большего треугольника $ABC$  центр так же  лежит на биссектрисе  , получаем что $AV$ проходит через оба центра .     $O;O_{1}$ 
 $V \in BC$ 
  Проведя радиусы $r;R$ меньшего и большего соответственно , получим их прямоугольных треугольников  $AOE;AO_{1}N$    
 $AE=r*ctg( \frac{a}{2})\\ AN=R*ctg( \frac{a}{2} )$ 
 Отнимем     
 $(R-r)ctg\frac{a}{2}=EN$ так как 
  $2S_{menwix}=S_{bolwego}$ 
 получим 
 $2AE^2=AN^2 \\ \sqrt{2}AE=AN$ . 
 
 $AE(\sqrt{2}-1)=(R-r)*ctg\frac{a}{2}\\ AE=r*ctg(\frac{a}{2})\\ r*ctg\frac{a}{2}(\sqrt{2}-1)=(R-r)*ctg\frac{a}{2}\\ \sqrt{2}r*ctg\frac{a}{2}-r*ctg\frac{a}{2}=R*ctg\frac{a}{2}-rctg\frac{a}{2}\\ R=\sqrt{2}r$ 
 Это возможно когда треугольник  прямоугольный и равнобедренный ,  тогда   углы
 $ABC=45а$