Question

Плоскость альфа пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках D и E соответственно, причем AC параллельна плоскости альфа. Найдите AC, если BD : AD = 3 : 4 и DE = 10 см

Answer 1

сначало докажем что треугольник АСЕ подобен треугольнику DBС.

эти треугольники подобны по 1 свойству: угол Б-общий, угол DBЕ=углу BАС внутренние односторонние углы при DE параллельна AC и секущей AB

AC/DE=AB/DB

AC=(AB*DE)/DB

AB=3+4=7 

AC= (7*10)/3=70/3= 23 1/3

 

Answer 2

Для решения этой задачи используем пропорции и свойства параллельных линий в треугольнике ABC.

Обозначим длину отрезка AC как \( x \). Также, у нас есть информация о соотношении BD к AD и длине DE.

По условию, \( BD : AD = 3 : 4 \). Это означает, что \[ BD = \frac{3}{4} \cdot AD \] \[ BD = \frac{3}{4} \cdot x \]

Также, нам известна длина DE, равная 10 см. Теперь мы можем записать выражение для отрезка BE: \[ BE = BD + DE \] \[ BE = \frac{3}{4} \cdot x + 10 \]

Так как AC параллельна плоскости \(\alpha\), мы можем использовать свойство подобных треугольников. Треугольники ABC и ADE подобны друг другу.

Соотношение сторон треугольников ABC и ADE равно соотношению сторон треугольников ADE и ACE (по свойству подобных треугольников). Таким образом, \[ \frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC} \]

Теперь подставим известные значения: \[ \frac{AC}{AD} = \frac{AE}{AC} \]

Используем, что \( AD = 4 \), а \( AE = BE - BD \): \[ \frac{AC}{4} = \frac{BE - BD}{AC} \]

Теперь можем выразить BE через x: \[ \frac{AC}{4} = \frac{\frac{3}{4} \cdot x + 10 - \frac{3}{4} \cdot x}{AC} \]

Упростим уравнение: \[ \frac{AC}{4} = \frac{10}{AC} \]

Перемножим обе стороны на 4AC: \[ AC^2 = 40 \]

Теперь найдем значение AC: \[ AC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Таким образом, длина отрезка AC равна \(2\sqrt{10}\) см.