Question

Найдите все уравнения прямых,проходящих через точку (5;13) и пересекающих координатные оси в точках,координаты которых целые,неотрицательные числа.

Answer 1

Ответ:

1) Y = 78 - 13*X; 2) Y = 26 - 13X/5; 3) Y = 18 - Х; 4) Y =  14 - X/5;

5) Y = (13/5)*X.

Объяснение:

Определение: В заданной плоскости пучком прямых с центром в точке М называют множество всех прямых, лежащих в плоскости  и проходящих через точку М.

Нам дана точка М(5;13), лежащая в первом квадранте  и условие для пучка прямых: каждая их этих прямых должна пересекать оси координат в точках с координатами - целыми положительными числами, то есть вида (x;y), где  x >0 и y>0 одновременно.

Х > 5, Y >13.

Уравнение прямых, проходящих через 2 точки: точку М(5;13) и точку 2(X2;Y2), причем при Х2 - целом положительном числе и X2>5,  

Y2 = 0. То есть точка 2(X2;Y2) лежит на оси Х. Тогда

(X - 5)/(X2 - 5) = (Y - 13)/(0-13)  => -13X +65 = Y(X2-5) - 13X2 +65 или

Y = (13X2 - 13X)/(X2-5) = 13X2/(X2-5) - 13X/(X2-5). Это уравнение для пучка прямых, проходящих через точку М и пересекающую ось Х в первом квадранте. Но есть и второе условие:

при Х=0 эти прямые должны пересекать ось Y так, что Y - целое число. Тогда уравнение примет вид:

Y = 13X2/(X2-5), где дробь 13X2/(X2-5) равна целому положительному числу.

При Х2 = 6,  Y = 78 - это максимально возможное значение для Y, а уравнение прямой будет таким:

Y = 78 - 13*X. Проверка: 13 = 78 - 13*5 = 78 => прямая проходит через точку М(5;13) и пересекает оси координат в точках с координатами: (0;78) и (6;0).

Минимальное значение координаты Y, удовлетворяющее условиям задачи, может быть 14, так как при Y=13 прямая, проходящая через точку М, будет параллельной оси Х.

Проверим точку на оси Y(0;14):  14 = 13Х2/(Х2-5)  =>  X2 = 70. Уравнение Y = 14 - 13X/65 = 14 - X/5 . Проверка: 13 = 14 - 5/5 = 13 => прямая проходит через точку М(5;13) и пересекает оси координат в точках с координатами: (0;14) и (70;0).

Дробь 13X2/(X2-5) на промежутке 6 ≤ X2 ≤ 70 принимает целочисленное значение при Х2 = 10 и Х2 = 18.  Соответственно, уравнения этих прямых, удовлетворяющих условиям:

Y = 26 - 13X/5  и Y = 18 - 13Х/13.

К этим прямым нужно добавить прямую, проходящую через начало координат и точку М(5;13), так как по определению: "Неотрицательные целые числа - это положительные целые числа и число нуль".

 Y = (13/5)*X.

Answer 2

Для нахождения уравнений прямых, проходящих через точку (5,13) и пересекающих координатные оси в точках с целыми, неотрицательными координатами, нужно рассмотреть все возможные варианты прямых.

1. Прямая, проходящая через точку (5,13) и ось OX в точке (х,0). Уравнение данной прямой будет иметь вид: y - 13 = k(x - 5), где k - коэффициент наклона прямой. Чтобы эта прямая пересекала ось OX в точке с целыми, неотрицательными координатами, нужно, чтобы x - 5 было целым числом. Таким образом, прямая задается уравнением вида y - 13 = k(x - 5), где k - произвольное вещественное число, x - 5 - целое число.

2. Прямая, проходящая через точку (5,13) и ось OY в точке (0,у). Уравнение данной прямой будет иметь вид: y - у = k(x - 0), где k - коэффициент наклона прямой. Чтобы эта прямая пересекала ось OY в точке с целыми, неотрицательными координатами, нужно, чтобы у было целым числом. Таким образом, прямая задается уравнением вида y - у = kx, где k - произвольное вещественное число, у - целое число.

Таким образом, все уравнения прямых, проходящих через точку (5,13) и пересекающих координатные оси в точках с целыми, неотрицательными координатами, имеют вид: 1) y - 13 = k(x - 5), x - 5 - целое число. 2) y - у = kx, у - целое число.