Question

Вершины треугольника abc имеют координаты a(-8 7 -4) b(-6,5,-3) c(-5,3,-4) найдите площадь треугольника abc

Answer 1

По координатам вершин треугольника находим длины сторон.
АВ = с = √((-6-(-8))²+(5-7)²+(-3-(-4))²) = √(4+4+1) = √9 = 3.
Аналогично определяем:
ВС = а = √6 = 2,4494897,
АС = в = √25 = 5.
Площадь находим по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Полупериметр р = (а+в+с)/2 = ( 2,44949 + 5 + 3) / 2 =  5,224745.
Подставив значения в формулу, получим:
S =  2,69258 кв.ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника по координатам его вершин, можно воспользоваться формулой площади Герона или использовать векторное произведение.

Давайте воспользуемся векторным произведением для нахождения площади треугольника ABC. Площадь треугольника, образованного векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), равна половине модуля их векторного произведения.

Пусть \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\) и \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\). Тогда векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) можно найти следующим образом:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ B_x - A_x & B_y - A_y & B_z - A_z \\ C_x - A_x & C_y - A_y & C_z - A_z \end{vmatrix} \]

где \(\hat{i}\), \(\hat{j}\), \(\hat{k}\) - это единичные векторы вдоль координатных осей.

Итак, подставим координаты точек A, B и C:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 - (-8) & 5 - 7 & -3 - (-4) \\ -5 - (-8) & 3 - 7 & -4 - (-4) \end{vmatrix} \]

Вычисляем определитель:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим векторное произведение:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \hat{i}(0 + 4) - \hat{j}(0 + 3) + \hat{k}(-8 - (-6)) = 4\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k} \]

Модуль этого вектора равен:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29} \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

\[ S = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{29} \]