Question

Один из углов прямоугольного треугоьника равен 60 градусов, разность между гипотенузой и малым катетом равна 2,75 см. Найдите гипотенузу и малый катет .

Answer 1

Третий угол получается 30 градусов. Обозначь стороны буквами a,b, c: a напротив угла в 30гр, b-напротив 60, с-гипотенуза. a-меньший катет, тк лежит напротив меньшего угла. По условию : с-а=2,75, вспоминаем "что катет напротив угла в 30 град в прямоугольном треугольнике равен 1/2 гипотенузы", то есть: а=1/2 c, подставим в с-1/2с=2,75; 0,5с=2,75 с=5,5 Тогда а=2,75

Answer 2

Давайте обозначим углы прямоугольного треугольника:

- Пусть угол между гипотенузой и малым катетом равен \(60^\circ\). - Обозначим гипотенузу буквой \(c\), малый катет - буквой \(a\), а величину разности между гипотенузой и малым катетом обозначим буквой \(b\).

У нас дано, что \(b = 2.75 \, \text{см}\).

С учетом того, что у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения. В данном случае, используем тангенс угла:

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

В нашем случае, \( \tan(60^\circ) = \frac{a}{c} \).

Таким образом, мы можем выразить \(a\) через \(c\):

\[ a = c \cdot \tan(60^\circ) \]

Также у нас есть величина \(b\):

\[ b = c - a \]

Подставим первое уравнение во второе:

\[ 2.75 = c - c \cdot \tan(60^\circ) \]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(c\). Известно, что \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), поэтому:

\[ 2.75 = c - c \cdot \sqrt{3} \]

Выразим \(c\) из уравнения:

\[ c \cdot \sqrt{3} = c - 2.75 \]

\[ c \cdot (\sqrt{3} - 1) = 2.75 \]

\[ c = \frac{2.75}{\sqrt{3} - 1} \]

Мы можем упростить это выражение, умножив числитель и знаменатель на \((\sqrt{3} + 1)\) (сопряженное число к \(\sqrt{3} - 1\)):

\[ c = \frac{2.75 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) \cdot (\sqrt{3} + 1)} \]

\[ c = \frac{2.75 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} \]

\[ c = \frac{2.75 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{2} \]

\[ c = 1.375 \cdot (\sqrt{3} + 1) \]

Теперь мы знаем значение гипотенузы \(c\). Теперь можем найти значение малого катета \(a\) с использованием тангенса угла:

\[ a = c \cdot \tan(60^\circ) \]

\[ a = 1.375 \cdot (\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{3} \]

\[ a = 1.375 \cdot (\sqrt{3}^2 + \sqrt{3}) \]

\[ a = 1.375 \cdot (3 + \sqrt{3}) \]

Таким образом, гипотенуза \(c\) и малый катет \(a\) равны:

\[ c \approx 3.18 \, \text{см} \]

\[ a \approx 5.20 \, \text{см} \]