Question

Докажите тождество: 1+ tg a / 1+ctg

Answer 1

Ответ:

1+tga=1+sina/cosa=(cosa+sina)/cosa  

1+ctga=1+cosa/sina=(sina+cosa)/sina  

Разделив первую дробь на вторую получишь: sina/cosa=tga

Объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу! Давайте начнем с тождества тригонометрии:

\(\frac{1}{\cos \theta}\) равно \(\sec \theta\) (секанс).

Мы знаем, что \(\sec \theta\) можно выразить как \(\frac{1}{\cos \theta}\). Также мы знаем, что \(\sec \theta\) это обратное значение косинуса: \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\).

Далее, рассмотрим \(\tan \theta\). Мы знаем, что \(\tan \theta\) это отношение синуса к косинусу: \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\).

Теперь, если мы возьмем обратное значение для тангенса (котангенс), то получим: \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\).

Теперь, если мы подставим значение тангенса в формулу для котангенса, получим: \(\cot \theta = \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\).

Таким образом, у нас есть два выражения: \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\) и \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\).

Теперь мы можем использовать данные выражения для доказательства тождества, которое вы предложили:

\(\frac{1 + \tan \theta}{1 + \cot \theta}\)

Подставим значения тангенса и котангенса:

\(\frac{1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}\)

Приведем общий знаменатель:

\(\frac{\frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta}}\)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\(\frac{\cos \theta(\cos \theta + \sin \theta)}{\sin \theta(\sin \theta + \cos \theta)}\)

Раскроем скобки:

\(\frac{\cos^2 \theta + \cos \theta \sin \theta}{\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta}\)

Теперь мы можем использовать основные тригонометрические тождества, такие как \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) и \(\cos \theta \sin \theta = \sin \theta \cos \theta\):

\(\frac{1 + \cos \theta \sin \theta}{1 + \sin \theta \cos \theta}\)

Так как \(\sin \theta \cos \theta = \sin \theta \cos \theta\) и \(1 + \cos \theta \sin \theta = 1 + \cos \theta \sin \theta\), то исходное выражение равно 1.

Таким образом, тождество \(\frac{1 + \tan \theta}{1 + \cot \theta} = 1\) доказано.