Question

В прямоугольном треугольнике ABC (угол А=90 градусов) медиана АМ делит биссектрису СК в отношении 6:1 (считая от вершины С). Найдите косинус угла С

Answer 1

∠ABC=45° => ∠BAC=45° => треугольник ABC - равнобедренный => BC=8 см.
По т.Пифагора AB²=AC²+BC²=8²+8²=2*8² => AB=8√2 см. CD²=AC²-(AB/2)²=8²-(4√2)²=64-32=32 => CD= 2√8 см.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника и отношение длин сегментов биссектрисы и медианы.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике угол А равен 90 градусам. Также, по определению медианы, она делит сторону BC пополам. Пусть точка M - середина стороны BC, тогда длина AM будет равна BM.

По условию задачи, медиана AM делит биссектрису СК в отношении 6:1, считая от вершины С. Это означает, что отношение длины CK к длине SK равно 6:1. Пусть CK = 6x и SK = x.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник AMC. Мы знаем, что AM = BM и CK = 6x, а также угол А равен 90 градусов. Так как угол С является внутренним углом треугольника AMC, мы можем использовать косинус этого угла.

Нахождение косинуса угла С

Для нахождения косинуса угла С мы можем использовать теорему косинусов:

cos(С) = (AM^2 + CM^2 - AC^2) / (2 * AM * CM)

Так как AM = BM и треугольник ABC - прямоугольный, то AC = BC = 2 * AM.

Подставим эти значения в формулу:

cos(С) = (AM^2 + CM^2 - (2 * AM)^2) / (2 * AM * CM)

Поскольку AM = BM, то AM = BC / 2 = 2 * AM / 2 = AM.

Теперь формула принимает вид:

cos(С) = (AM^2 + CM^2 - 4 * AM^2) / (2 * AM * CM)

Упростим ее:

cos(С) = (CM^2 - 3 * AM^2) / (2 * AM * CM)

Мы также знаем, что CK = 6x и SK = x. По теореме Пифагора, в треугольнике СКМ (прямоугольнике) выполняется:

CK^2 = CM^2 + SK^2

Подставим значения CK и SK:

(6x)^2 = CM^2 + x^2

36x^2 = CM^2 + x^2

35x^2 = CM^2

Теперь мы можем заменить CM^2 в формуле для косинуса:

cos(С) = (35x^2 - 3 * AM^2) / (2 * AM * 35x)

Нам нужно выразить AM через x. Мы знаем, что AM = BC / 2 = 2 * AM / 2 = AM, поэтому:

2 * AM = BC

Так как BC = 2 * AM, то AM = BC / 2 = 2 * AM / 2 = AM.

Теперь можем заменить AM в формуле:

cos(С) = (35x^2 - 3 * (BC / 2)^2) / (2 * BC * 35x)

После упрощения получим:

cos(С) = (35x^2 - 3 * BC^2 / 4) / (2 * BC * 35x)

Таким образом, мы получили формулу для нахождения косинуса угла С в прямоугольном треугольнике ABC при заданном отношении длин сегментов биссектрисы и медианы. Для окончательного решения задачи, вам нужно узнать значения сторон треугольника BC (или AM) и заменить их в формулу, затем рассчитать косинус угла С.