Question

Определение расстояния от точки до прямой. Наклонная. Определение расстояния между параллельными прямыми

Answer 1

Расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр. Наклонная - это отрезок, соединяющий точку с любой из точек прямой (кроме перпендикуляра). Так как получится прмямоугоббный треугольник, а у такого треугольника гипотенуза больше катета, то наклонная всегда больше расстояния (то есть перпендикуляра от точки до прямой). Расстояние между прямыми - это длина перпендикуляра, опущенного от любой из точек любой из прямых до Прагой прямой. Можно доказать теорему, что длина такого перпендикуляра для двух параллельных прямых всегда одинакова.

Answer 2

Определение расстояния от точки до прямой и между параллельными прямыми в геометрии является важным понятием. Давайте рассмотрим оба случая более подробно.

1. Расстояние от точки до прямой:

Пусть у нас есть прямая \(Ax + By + C = 0\), а точка с координатами \((x_0, y_0)\). Расстояние \(d\) от точки до прямой можно вычислить с использованием формулы:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Эта формула основана на том, что расстояние между точкой и прямой - это длина перпендикуляра, проведенного от точки до прямой. Числитель формулы представляет собой значение уравнения прямой в данной точке, а знаменатель - нормировочный коэффициент, который гарантирует, что результат является действительным расстоянием.

2. Расстояние между параллельными прямыми:

Если у нас есть две параллельные прямые с уравнениями \(Ax + By + C_1 = 0\) и \(Ax + By + C_2 = 0\), то расстояние \(d\) между ними можно вычислить по формуле:

\[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Эта формула также основана на идее использования нормировочного коэффициента для получения действительного расстояния между прямыми.

Обратите внимание, что в обеих формулах знаменатель \(\sqrt{A^2 + B^2}\) представляет собой длину вектора \((A, B)\), который является нормальным вектором к прямой. Этот вектор используется для нормировки расстояния, чтобы результат был независим от выбора коэффициентов уравнения прямой.