Question

Решите пожалуйста, очень надо... Если можно по подробнее и с рисунком. Отвечу тем же... Заранее спасибо! 1.Найдите радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см. 2.Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 2 см. Найдите стороны треугольника. 3.Найдите периметр описанный около окружности прямоугольной трапеции, ели одно из оснований больше другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см. 4. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон ВС и АС пересекаются в точке О. Найдите длину ОС, если АВ=10см, ак угол ВОА=120 градусов.

Answer 1

1==============

Есть формула радиуса вписанной окружности по стороне:

 

r = (a√3)/6 = (12√3)/6 = 2√3

 

Есть другой вариант решения:

 

из формулы синусов, будем считать треуг. равнобедренный

при основании которого угол = 60 градусов, это равносторонний треугольник,

найдем радиус ОПИСАННОЙ окружности:

 

Используем формулу:

a=2r sin B = 2 r (√3/2) = √3 r

 

R = a/√3 = 12/√3

 

Но отношения радиусов описанной и вписанной окр. = 1/2

 

следовательно r = 1/2*(12/√3) = 6/√3 

 

Результат тот же. Не верите ? проверьте :

 

(6/√3) *( √3/√3) =( 6√3)/3 = 2√3

 

2====================

Используем ту же формулу:

 

r = (a√3)/6

 

a√3 = 6r

 

a = 6r/(√3) = 12/√3 = ( 12/√3) *( √3/√3) = 4√3

 

3====================

Пока не знаю как решать

4====================

обозначим точки L и M на чертеже это точки серединн. перпенд.

 

Проведем анализ задания:

1 треугольники  COL и BOL равны по двум сторонам

   (OL - общая CL = LB по заданию)   и углу между ними = 90 градусов

2 Аналогично: треугольники AOM и COM равны по

   2м сторонам и углу между ними: (AM = MC по заданию, MO - общая, углы

   OMC = OMA = 90 гр)

3 Если треугольники равны следовательно можем сделать выводы :

  AO = OC

  OC = OB

Следовательно AO = OB, отсюда следует, что треуг. AOB Равнобедренный.

 

Если мы найдем стороны AO мы найдем OC.

 

Рассмотрим треуг. AOB, он равнобедренный:

Найдем его углы, углы A и B равны.

угол A = угл B = (180 - 120)/2 = 30

 

Из теоремы синусов:

AO/sin B = AB/sin AOB

Найдем AO.

 

AO * sin AOB = AB * sin B

 

AO = (AB * sin B)/SIN AOB = (10 * SIN 30) / SIN 120 = (10 *1/2)/SIN 60 =

 

=5/(√3/2) = 10/√3

так как AO = OC что было доказано выше, следовательно

 

ОС =10/√3

 

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов по очереди.

1. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см.

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}}, \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Подставим \( a = 12 \) см:

\[ r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \] см.

2. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2 см. Найдите стороны треугольника.

Снова используем формулу для радиуса вписанной окружности в равностороннем треугольнике:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}}. \]

Теперь у нас известен радиус \( r = 2 \) см. Решим уравнение относительно стороны \( a \):

\[ 2 = \frac{a}{2\sqrt{3}}. \]

Умножим обе стороны на \( 2\sqrt{3} \):

\[ 4\sqrt{3} = a. \]

Таким образом, стороны треугольника равны \( a = 4\sqrt{3} \) см.

3. Найдите периметр, описанный около окружности прямоугольной трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см.

Обозначим большее основание через \( a \), меньшее через \( b \). Также обозначим высоту трапеции через \( h \).

Периметр трапеции равен сумме длин ее оснований и двух боковых сторон:

\[ P = a + b + \sqrt{h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} + \sqrt{h^2 + \left(\frac{a + b}{2}\right)^2}. \]

Также известно, что радиус вписанной окружности равен половине суммы оснований трапеции:

\[ r = \frac{a + b}{2}. \]

Подставим \( r = 4 \) см и \( a = b + 6 \) см в уравнение:

\[ 4 = \frac{b + b + 6}{2}. \]

Решим это уравнение и найдем значение \( b \):

\[ 4 = \frac{2b + 6}{2}, \]

\[ 8 = 2b + 6, \]

\[ 2b = 2, \]

\[ b = 1. \]

Теперь найдем \( a \):

\[ a = b + 6 = 1 + 6 = 7. \]

Теперь можем найти высоту трапеции:

\[ h = \sqrt{r^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} = \sqrt{16 - \left(\frac{7 - 1}{2}\right)^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}. \]

Теперь подставим все значения в формулу периметра:

\[ P = 7 + 1 + \sqrt{(\sqrt{7})^2 + \left(\frac{7 - 1}{2}\right)^2} + \sqrt{(\sqrt{7})^2 + \left(\frac{7 + 1}{2}\right)^2}. \]

Решим это уравнение, чтобы найти периметр.

4. В остроугольном треугольнике \(ABC\) серединные перпендикуляры сторон \(BC\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\). Найдите длину \(OC\), если \(AB = 10\) см, а угол \(BOA = 120\) градусов.

Угол \(BOA\) — это угол между серединными перпендикулярами, и он равен углу между \(BC\) и \(AC\) в остроугольном треугольнике.

Так как треугольник остроугольный, то угол \(BOA\) равен сумме углов \(BOC\) и \(AOC\):

\[ BOA = BOC + AOC. \]

У нас есть \(BOA = 120^\circ\). Также известно, что угол \(BOC\) и \(AOC\) являются прямыми углами (так как это серединные перпендикуляры). Таким образом:

\[ 120 = 90 + AOC. \]

Отсюда находим угол \(AOC\):

\[ AOC = 30^\circ. \]

Теперь треугольник \(AOC\) является равносторонним, так как все его углы равны \(30^\circ\). Таким образом, \(AC = AO = OC\). Также, \(AC = AB / 2 = 10 / 2 = 5\) см.

Таким образом, \(OC = AC = 5\) см.

Answer 3

1. Найдите радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см.

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, мы можем воспользоваться следующей формулой:

Радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник = (сторона треугольника) / (2 * sqrt(3))

В данном случае, сторона треугольника равна 12 см. Подставим данное значение в формулу:

Радиус окружности = 12 / (2 * sqrt(3))

Чтобы упростить выражение, найдем значение корня из трех (sqrt(3)):

sqrt(3) ≈ 1.732

Подставим это значение в формулу:

Радиус окружности ≈ 12 / (2 * 1.732) ≈ 12 / 3.464 ≈ 3.464 см

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см, примерно равен 3.464 см.

2. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 2 см. Найдите стороны треугольника.

Для нахождения сторон треугольника, в котором вписана окружность, мы можем воспользоваться следующей формулой:

Сторона треугольника = (радиус окружности) * 2 * sqrt(3)

В данном случае, радиус окружности равен 2 см. Подставим данное значение в формулу:

Сторона треугольника = 2 * 2 * sqrt(3)

Упростим выражение:

Сторона треугольника = 4 * sqrt(3)

Чтобы упростить выражение, найдем значение корня из трех (sqrt(3)):

sqrt(3) ≈ 1.732

Подставим это значение в формулу:

Сторона треугольника ≈ 4 * 1.732 ≈ 6.928 см

Таким образом, сторона равностороннего треугольника, в котором вписана окружность радиусом 2 см, примерно равна 6.928 см.

3. Найдите периметр, описанный около окружности прямоугольной трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см.

Чтобы найти периметр, описанный около окружности прямоугольной трапеции, мы можем воспользоваться следующей формулой:

Периметр = 2 * (большее основание + меньшее основание) + 2 * pi * (радиус окружности)

В данном случае, одно из оснований больше другого на 6 см, и радиус окружности равен 4 см. Подставим данные значения в формулу:

Периметр = 2 * (большее основание + меньшее основание) + 2 * pi * (4)

Упростим выражение:

Периметр = 2 * (большее основание + меньшее основание) + 8 * pi

Таким образом, периметр описанного около окружности прямоугольной трапеции можно выразить через основания и радиус окружности.

4. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон ВС и АС пересекаются в точке О. Найдите длину ОС, если АВ=10 см, а угол ВОА=120 градусов.

Чтобы найти длину ОС, мы можем воспользоваться теоремой о треугольнике и свойством серединного перпендикуляра.

Теорема о треугольнике гласит, что серединный перпендикуляр к стороне треугольника проходит через середину этой стороны и равен половине длины стороны.

В данном случае, АВ = 10 см. Серединный перпендикуляр к стороне ВС проходит через середину стороны ВС и точку О. Также, угол ВОА = 120 градусов.

По свойству серединного перпендикуляра, треугольник ВОС является равнобедренным, и угол ВОС равен 90 градусам.

Таким образом, ОС является высотой равнобедренного треугольника ВОС.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины ОС.

Длина ОС = sqrt(AB^2 - (BC/2)^2)

Подставим значения:

Длина ОС = sqrt(10^2 - (BC/2)^2)

Так как треугольник ВОС равнобедренный, то BC/2 = OC. Подставим это значение:

Длина ОС = sqrt(10^2 - OC^2)

Мы знаем, что угол ВОА = 120 градусов. Следовательно, угол ВОС = 60 градусов.

Мы можем воспользоваться тригонометрической функцией синус для нахождения длины OC:

sin(60) = OC / AB

Подставим значения:

sin(60) = OC / 10

Решим уравнение:

OC = 10 * sin(60) ≈ 8.66 см

Таким образом, длина ОС примерно равна 8.66 см.