Question

Даны точки A(-1;4) , B(1;-2) , C (0;-4) , D(2;2), E и F-середины AB и CD соответственно. найдите острый угол между EF и CD

Answer 1

Самый простой способ: начертить по клеточкам и соединить DE.
Получится равнобедренный прямоугольный треугольник FED,
где угол EFD = 45° Задача на ГИА в 9 классе на оценку "4".

Answer 2

Давай посмотрим, как можно найти острый угол между векторами \( \overrightarrow{EF} \) и \( \overrightarrow{CD} \).

Сначала найдем координаты точек E и F, которые являются серединами отрезков AB и CD соответственно.

1. Найдем середину отрезка AB: Координаты точки A: (-1, 4) Координаты точки B: (1, -2) Формула для нахождения середины отрезка: \[ E\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]

Подставляем координаты точек A и B: \[ E\left(\frac{-1 + 1}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}\right) \] \[ E(0, 1) \]

2. Найдем середину отрезка CD: Координаты точки C: (0, -4) Координаты точки D: (2, 2) Формула для нахождения середины отрезка: \[ F\left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right) \]

Подставляем координаты точек C и D: \[ F\left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{-4 + 2}{2}\right) \] \[ F(1, -1) \]

Теперь у нас есть координаты точек E(0, 1) и F(1, -1). Мы можем вычислить векторы \( \overrightarrow{EF} \) и \( \overrightarrow{CD} \) и затем найти угол между ними.

Вектор \( \overrightarrow{EF} \) вычисляется как разность координат F и E: \[ \overrightarrow{EF} = \langle x_F - x_E, y_F - y_E \rangle \] \[ \overrightarrow{EF} = \langle 1 - 0, (-1) - 1 \rangle \] \[ \overrightarrow{EF} = \langle 1, -2 \rangle \]

Вектор \( \overrightarrow{CD} \) вычисляется как разность координат D и C: \[ \overrightarrow{CD} = \langle x_D - x_C, y_D - y_C \rangle \] \[ \overrightarrow{CD} = \langle 2 - 0, 2 - (-4) \rangle \] \[ \overrightarrow{CD} = \langle 2, 6 \rangle \]

Теперь, чтобы найти угол между этими векторами, используем формулу скалярного произведения векторов: \[ \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{EF}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot \cos(\theta) \] где \( \theta \) - угол между векторами.

Сначала найдем скалярное произведение векторов: \[ \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 6 = 2 - 12 = -10 \]

Теперь найдем длины векторов \( |\overrightarrow{EF}| \) и \( |\overrightarrow{CD}| \): \[ |\overrightarrow{EF}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Подставим значения в формулу для нахождения угла: \[ -10 = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \cos(\theta) \] \[ \cos(\theta) = \frac{-10}{2\sqrt{50}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \] \[ \theta \approx 101.5^\circ \]

Получается, что острый угол между векторами \( \overrightarrow{EF} \) и \( \overrightarrow{CD} \) составляет примерно 101.5 градусов.