Question

Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника в 2 раза меньше основания этого треугольника. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону, если длина боковой стороны равна 3.

Answer 1

Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника будет и медианой и высотой... обозначим ее длину (а)
получившийся при этом прямоугольный треугольник получится равнобедренным...
катеты у него равны: биссектриса = (а) и половина основания тоже (а)
в этом прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза = 3
найдем катеты... 2a^2 = 9 ---> a^2 = 4.5
высота, опущенная на боковую сторону, будет в свою очередь и медианой...
и опять из нового прямоугольного треугольника по т.Пифагора:
x^2 + (1.5)^2 = 4.5
x^2 = 4.5 - 1.5*1.5 = 1.5*(3 - 1.5) = 1.5*1.5
x = 1.5

Answer 2

Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, а биссектриса угла при вершине равна b. Тогда по условию задачи b = a/2.

Высота, опущенная на боковую сторону треугольника, делит боковую сторону на две равные части. Обозначим длину половины боковой стороны через c. Тогда c = 3/2 = 1.5.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половиной основания, половиной боковой стороны и высотой, выполняется соотношение:

c^2 + h^2 = b^2, где h - искомая высота.

Подставим известные значения:

(1.5)^2 + h^2 = (a/2)^2.

Учитывая, что b = a/2, получаем:

2.25 + h^2 = (b)^2.

Так как b = a/2, то:

2.25 + h^2 = (a/2)^2.

Учитывая, что a - основание треугольника, получаем:

2.25 + h^2 = (a^2)/4.

Учитывая, что a^2 = 4 * 2.25, получаем:

2.25 + h^2 = 9.

Вычитаем 2.25 из обеих частей уравнения:

h^2 = 9 - 2.25 = 6.75.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

h = √(6.75).

Таким образом, высота, опущенная на боковую сторону треугольника, равна √(6.75).