Question

Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на части, градусные меры которых относятся как 4:7:4. Найдите углы треугольника

Answer 1

Угол между медианой и высотой равен 7x, а два других угла в тройке при вершине - по 4x. Тогда два других угла треугольника равны 90° - 4x и 90° - 11x;
Если обозначить медиану m, а обе половинки стороны, к которой она проведена, буквой c (то есть вся сторона равна 2c), то из теоремы синусов для обоих треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник, следует
m/c = sin(90° - 4x)/sin(11x) = cos(4x)/sin(11x);
m/c = sin(90° - 11x)/sin(4x) = cos(11x)/sin(4x);
откуда сразу следует sin(8x) = sin(22x); или sin(7x)*cos(15x) = 0;
легко видеть, что по смыслу задачи 7x < 180°; то есть sin(7x) не равен 0;
то есть остается cos(15x) =0;
опять таки, по смыслу задачи, весь угол при вершине, из которой выходят высота и медиана, как раз и равен 15x; единственное осмысленное решение, таким образом, соответствует случаю, когда этот угол прямой - только в этом случае косинус угла равен 0; более старшие решения геометрически невозможны.
отсюда x = 6; и углы треугольника 90; 24; 66;