Question

Отрезок MP расположен в плоскости альфа.Точка К не лежит в ней.Докажите что прямая проходящая через середины отрезков АМ и АР параллельна плоскости альфа

Answer 1

Точка к не лежит в плоскости альф .Получился треугольник МКР Пусть Точка С середина МК а точка В середина КР.Тогда СВ является средней линией треугольника МКР. Отсюда следует что МР параллельна СВ.МР лежит в альфа  Значит по 1 ому утверждению  из теоремы о параллельности прямой и плоскости ВС параллельна альфа, Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая, проходящая через середины отрезков AM и AR, параллельна плоскости альфа, можно воспользоваться свойством медианы треугольника.

Дано: Отрезок MP расположен в плоскости альфа, точка К не лежит в этой плоскости.

1. Обозначим точки: A, M, P, R, K. 2. Рассмотрим треугольник AMR. 3. Так как точка P лежит в плоскости альфа, то отрезок MP тоже лежит в этой плоскости. 4. Рассмотрим медиану AM треугольника AMR. Пусть N - середина отрезка AM. 5. Поскольку N - середина отрезка AM, то отрезок NR также проходит через N и является медианой треугольника AMR. 6. Так как медиана разделяет другую сторону треугольника пополам, то точка R лежит на отрезке NR.

Теперь рассмотрим треугольник ARP.

7. Так как точка K не лежит в плоскости альфа, а отрезок MP лежит в этой плоскости, то точка P и отрезок PR также лежат в плоскости альфа. 8. Поскольку точка R лежит на отрезке NR, а NR является медианой треугольника AMR, то точка R также лежит на отрезке NP, где P - точка пересечения отрезка MP с плоскостью альфа.

Таким образом, точка R лежит как на отрезке NR, так и на отрезке NP, следовательно, точка R совпадает с точкой N. Таким образом, отрезок NR совпадает с отрезком NP.

Теперь рассмотрим треугольник AKP.

9. Точка K не лежит в плоскости альфа, а точка P лежит в этой плоскости, следовательно, отрезок KP не лежит в плоскости альфа. 10. Так как точка R совпадает с точкой N, отрезок NR совпадает с отрезком NP, и отрезок NP лежит в плоскости альфа, то отрезок KR также лежит в этой плоскости. 11. Значит, прямая, проходящая через середины отрезков AM и AR (то есть прямая NR), параллельна плоскости альфа.

Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков AM и AR, параллельна плоскости альфа.