Question

Осевым сечением конуса является треугольник, площадь которого равна Q.Найдите длину окружности основания конуса, если образующая наклонена к плоскости основания под углом a.

Answer 1

ΔАВС - осевое сечение конуса, АВ = ВС - образующие, ВО = h - высота, ∠ВАС = ∠ВСА = α, АО = ОС = R.

ΔВОС: ∠BOC = 90°
             BO = OC · tgα
             h = R·tgα
Sabc = AC·BO/2
Q = 2R·h/2 = Rh = R²·tgα
R² = Q / tgα
R = √(Q / tgα)

C = 2πR = 2π√(Q / tgα) - длина окружности основания.

Answer 2

Давайте обозначим основание конуса как треугольник ABC, где стороны треугольника - это линии, соединяющие вершину конуса (вершину треугольника) с точками на окружности (основании треугольника).

Также, обозначим длину образующей (стороны конуса) как l, длину радиуса окружности основания как R, угол между образующей и плоскостью основания как α.

Известно, что площадь треугольника ABC равна Q. Мы можем воспользоваться формулой площади треугольника:

\[Q = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot l.\]

Решим это уравнение относительно BC:

\[BC = \frac{2 \cdot Q}{l}.\]

Теперь обратим внимание на треугольник в плоскости основания. Он представляет собой равнобедренный треугольник, так как радиусы окружности равны. Пусть \(AB = AC = R\).

Мы знаем, что угол между образующей и плоскостью основания равен α. Также, угол между стороной треугольника BC и радиусом (например, AB) также равен α, так как они наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания.

Теперь мы можем использовать формулу для длины дуги окружности:

\[C = 2\pi R \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.\]

Так как у нас равнобедренный треугольник ABC, угол между стороной BC и радиусом равен α, и длина дуги BC равна BC. Таким образом, мы можем записать:

\[C = BC \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.\]

Подставим значение BC, которое мы нашли ранее:

\[C = \frac{2 \cdot Q \cdot \alpha}{l \cdot 360^\circ}.\]

Таким образом, длина окружности основания конуса равна \(\frac{2 \cdot Q \cdot \alpha}{l \cdot 360^\circ}\).