Question

Длина вектора, равного сумме двух векторов, не превосходит сумму длин этих векторов.

Answer 1

Да, верно..............................................................................................................................................

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим два вектора A и B, их сумму C и длины этих векторов.

Пусть A = (a1, a2, ..., an) и B = (b1, b2, ..., bn) - два произвольных вектора в n-мерном пространстве.

Длина вектора A обозначается ||A|| и вычисляется по формуле:

||A|| = √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)

Аналогично, длина вектора B вычисляется как:

||B|| = √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)

Сумма векторов A и B обозначается C и вычисляется покоординатно:

C = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)

Теперь давайте докажем утверждение, что длина вектора C (сумма векторов A и B) не превосходит суммы длин этих векторов (||C|| ≤ ||A|| + ||B||).

Для начала, возведем в квадрат обе части неравенства:

||C||^2 ≤ (||A|| + ||B||)^2

Раскроем скобки, используя квадрат суммы:

||C||^2 ≤ ||A||^2 + 2||A||·||B|| + ||B||^2

Теперь, заметим, что:

||A||^2 = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) ||B||^2 = (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)

Подставим это в неравенство:

||C||^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) + 2||A||·||B|| + (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)

Заметим, что сумма квадратов элементов векторов A и B встречается в правой части выражения, а это как раз квадрат сум