Question

Дано:F1F2F3F4-трапеция,равнобедренная. F1F2=F3F4=10 F2F3=8 F1F3=12 F1F4=18 Найти: S(F1F2F3)/S(F1F3F4)

Answer 1

Дано: $F_{1}F_{2}F_{3}F_{4}$ - равнобедренная трапеция, боковые стороны $F_{1}F_{2}=F_{3}F_{4}=10$
Большее основание $F_{1}F_{4}=18$
Диагональ $F_{1}F_{3}=12$
Найти: $\frac{S_{F_{1}F_{2}F_{3}}}{S_{F_{1}F_{3}F_{4}}} - ?$

Решение:
1) Рассмотрим треугольник $F_{1}F_{3}F_{4}$
Найти его площадь можно по формуле Герона (через полупериметр), т.к. известны длины всех сторон.
$p= \frac{F_{1}F_{3}+F_{3}F_{4}+F_{1}F_{4}}{2}$
$p= \frac{12+10+18}{2}=20$
$S_{F_{1}F_{3}F_{4}}= \sqrt{p*(p-F_{1}F_{3})(p-F_{1}F_{4})(p-F_{3}F_{4})}$ -формула Герона
$S_{F_{1}F_{3}F_{4}}= \sqrt{20*(20-10)(20-18)(20-12)}=\sqrt{20*10*2*8}=$$=\sqrt{2*10*10*2*4*2}=10*2*2\sqrt{2}=40\sqrt{2}$

2) По теореме косинусов в треугольнике $F_{1}F_{3}F_{4}$:
$12^{2}=10^{2}+18^{2}-2*10*18*cos(<F_{3}F_{4}F_{1})$
$144=100+324-20*18*cos(<F_{3}F_{4}F_{1})$
$20*18*cos(<F_{3}F_{4}F_{1})=100+324-144$
$cos(<F_{3}F_{4}F_{1})= \frac{280}{20*18}=\frac{14}{18}=\frac{7}{9}$

В треугольнике $H_{3}F_{3}F_{4}$ - прямоугольном:
$cos(<F_{3}F_{4}H_{3})=\frac{7}{9}=\frac{F_{4}H_{3}}{F_{3}F_{4}}=\frac{F_{4}H_{3}}{10}$
$\frac{F_{4}H_{3}}{10}=\frac{{7}}{9}$
$F_{4}H_{3}=\frac{{70}}{9}$

3) Т.к. трапеция равнобедренная, то $F_{4}H_{3}=F_{1}H_{2}=\frac{{70}}{9}$
Тогда $H_{2}H_{3}=F_{4}F_{1}-2*F_{4}H_{3}$
$H_{2}H_{3}=18-2* \frac{70}{9}=\frac{22}{9}$
$H_{2}H_{3}=F_{2}F_{3}=\frac{22}{9}$

4) Рассмотрим треугольник $F_{1}F_{2}F_{3}$
По формуле Герона найдем его площадь:
$p= \frac{10+12+ \frac{22}{9}}{2}= \frac{90+108+22}{9*2}=\frac{220}{18}=\frac{110}{9}$
$S_{F_{2}F_{2}F_{3}}= \sqrt{\frac{110}{9}*(\frac{110}{9}-10)(\frac{110}{9}-12)(\frac{110}{9}-\frac{22}{9})}=$$\sqrt{\frac{110}{9}*\frac{20}{9}*\frac{2}{9}*\frac{88}{9}}= \frac{\sqrt{11*10*2*10*2*4*11}}{81}= \frac{440}{81}$

5) Теперь найдем отношение площадей:
$\frac{S_{F_{1}F_{2}F_{3}}}{S_{F_{1}F_{3}F_{4}}}= \frac{440}{81*40 \sqrt{2}}=\frac{11}{81\sqrt{2}}=\frac{11\sqrt{2}}{162}$

Answer 2

Из условия задачи известны следующие данные:

f1f2f3f4 - трапеция, равнобедренная. f1f2 = f3f4 = 10 f2f3 = 8 f1f3 = 12 f1f4 = 18

Необходимо найти отношение площади треугольника f1f2f3 к площади треугольника f1f3f4.

Чтобы решить задачу, сначала найдем высоту треугольника f1f2f3 относительно основания f2f3.

Так как треугольник f1f2f3 является равнобедренным, высота опущена из вершины f2 и проходит через середину основания f1f3. Пользуемся свойством равнобедренной трапеции: высота равна половине суммы оснований, то есть

h = (f1f2 + f3f4) / 2 h = (10 + 10) / 2 = 10

Теперь найдем площади треугольников f1f2f3 и f1f3f4.

Площадь треугольника f1f2f3 равна половине произведения основания f2f3 на высоту h.

S(f1f2f3) = (f2f3 * h) / 2 S(f1f2f3) = (8 * 10) / 2 S(f1f2f3) = 40

Площадь треугольника f1f3f4 равна половине произведения основания f1f4 на высоту h.

S(f1f3f4) = (f1f4 * h) / 2 S(f1f3f4) = (18 * 10) / 2 S(f1f3f4) = 90

Окончательно, отношение площади треугольника f1f2f3 к площади треугольника f1f3f4 равно:

S(f1f2f3) / S(f1f3f4) = 40 / 90 = 4 / 9