Question

Основания прямоугольной трапеции равны 4и7см ,один из углов 60градусов .Найдите большую боковую сторону трапеции.

Answer 1

Для прямоугольной трапеции
d=(a-b)/cosα, где d - боковая сторона,a и b - основания, α -угол при боковой стороне
d=(7-4)/1/2=6см

Answer 2

Построим прямоугольную трапецию ABCD. Проведем прямую EC, так чтобы она была перпендикулярна AD. Получим прямоугольный треугольник CED, углы которого равны: CED=90 градусов(по построению), EDC=60 градусов(по условию задачи) и ECD=30 градусов(т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов, вычитаем из 180 90 градусов и 60, получаем 30)

отрезок ED будет равен разности оснований, т.к. ABCE - прямоугольник.

ED=7-4=3 см

Зная, что катет противолежащий углу в 30 градусов, равен половине гипотенузы, находим длину CD=3*2=6 см

Ответ: большая боковая сторона трапеции (CD) равна 6 см

Answer 3

Давайте обозначим основания прямоугольной трапеции через \(a\) и \(b\), где \(a\) - это меньшая основа (4 см), а \(b\) - большая основа. У нас также есть информация о том, что один из углов трапеции равен 60 градусам.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться фактом, что в прямоугольной трапеции с углом 60 градусов, большая основа \(b\) связана с меньшей основой \(a\) и боковыми сторонами трапеции следующим образом:

\[ b = a + 2h \tan(30^\circ) \]

где \(h\) - высота трапеции.

Также у нас есть еще одно уравнение, связывающее основания и высоту трапеции:

\[ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} \]

Теперь мы можем подставить первое уравнение во второе и решить получившееся квадратное уравнение относительно \(b\).

\[ \begin{align*} h &= \sqrt{b^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} \\ h^2 &= b^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 \\ b^2 &= h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 \\ b^2 &= h^2 + \frac{b^2 - 2ab + a^2}{4} \\ 4b^2 &= 4h^2 + b^2 - 2ab + a^2 \\ 3b^2 &= 4h^2 - 2ab + a^2 \\ 3b^2 &= 4h^2 - 2a(b + a) + a^2 \\ 3b^2 &= 4h^2 - 2ab - 2a^2 + 3a^2 \\ 3b^2 + 2a^2 &= 4h^2 - 2ab \\ b^2 + \frac{2}{3}a^2 &= h^2 - \frac{1}{3}ab \\ b^2 &= h^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{2}{3}a^2 \end{align*} \]

Теперь подставим это значение \(b\) в первое уравнение:

\[ \begin{align*} b &= a + 2h \tan(30^\circ) \\ &= a + 2h \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \\ &= a + \frac{2}{3}h\sqrt{3} \end{align*} \]

Теперь мы можем подставить найденное значение \(b\) в уравнение для \(b\) в терминах \(h\):

\[ \begin{align*} b^2 &= h^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{2}{3}a^2 \\ \left(a + \frac{2}{3}h\sqrt{3}\right)^2 &= h^2 - \frac{1}{3}a\left(a + \frac{2}{3}h\sqrt{3}\right) + \frac{2}{3}a^2 \\ a^2 + \frac{4}{3}ah\sqrt{3} + \frac{4}{9}h^2 \cdot 3 &= h^2 - \frac{1}{3}a^2 - \frac{2}{3}ah\sqrt{3} + \frac{2}{3}a^2 \\ a^2 + \frac{4}{3}ah\sqrt{3} + \frac{4}{3}h^2 &= h^2 - \frac{1}{3}a^2 + \frac{2}{3}a^2 \\ \frac{4}{3}ah\sqrt{3} &= -\frac{1}{3}a^2 + \frac{2}{3}a^2 \\ \frac{4}{3}ah\sqrt{3} &= \frac{a^2}{3} \\ 4h\sqrt{3} &= a \\ h &= \frac{a}{4\sqrt{3}} \end{align*} \]

Теперь, когда у нас есть значение \(h\), мы можем найти \(b\):

\[ \begin{align*} b &= a + \frac{2}{3}h\sqrt{3} \\ &= 4 + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} \\ &= 4 + \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &= 4 + \frac{8\sqrt{3}}{3} \\ &= \frac{12 + 8\sqrt{3}}{3} \approx 8.77 \, \text{см} \end{align*} \]

Таким образом, большая боковая сторона трапеции примерно равна 8.77 см.