Question

Даны точки А(1; -4), В(-2; 5), С(1+а; -4+b), D(-2+а; 5+b). Докажите, что векторы |AC|=|BD|

Answer 1

Достаточно просто отнять получиться

AC=(a b)

BD=(a b) 

Answer 2

Для доказательства равенства длин векторов |AC| и |BD|, мы должны вычислить длины этих векторов и убедиться, что они равны. Давайте начнем с вычисления векторов AC и BD.

Вектор AC можно выразить как разность координат точек C и A:

AC = (x_C - x_A, y_C - y_A)

где (x_C, y_C) - координаты точки C, а (x_A, y_A) - координаты точки A.

Вектор BD можно выразить аналогичным образом:

BD = (x_D - x_B, y_D - y_B)

где (x_D, y_D) - координаты точки D, а (x_B, y_B) - координаты точки B.

Теперь мы можем выразить координаты точек C и D, используя заданные точки A и B:

C = (1 + a, -4 + b) D = (-2 + a, 5 + b)

Подставляя эти значения в выражения для векторов AC и BD, получим:

AC = ((1 + a) - 1, (-4 + b) - (-4)) = (a, b) BD = ((-2 + a) - (-2), (5 + b) - 5) = (a, b)

Мы видим, что векторы AC и BD имеют одинаковые координаты (a, b). Теперь нам нужно вычислить их длины, чтобы доказать равенство |AC| = |BD|.

Длина вектора AC вычисляется с использованием формулы:

|AC| = sqrt((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2)

Подставляя значения координат точек A и C, получим:

|AC| = sqrt((a - 1)^2 + (b - (-4))^2) = sqrt((a - 1)^2 + (b + 4)^2)

Аналогично, длина вектора BD вычисляется с использованием формулы:

|BD| = sqrt((x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2)

Подставляя значения координат точек B и D, получим:

|BD| = sqrt((a - (-2))^2 + (b - 5)^2) = sqrt((a + 2)^2 + (b - 5)^2)

Теперь мы можем сравнить длины векторов |AC| и |BD|:

|AC| = sqrt((a - 1)^2 + (b + 4)^2) |BD| = sqrt((a + 2)^2 + (b - 5)^2)

Мы видим, что оба выражения имеют одинаковую форму, но с разными значениями внутри квадратных скобок. Чтобы доказать равенство |AC| = |BD|, нам нужно показать, что:

((a - 1)^2 + (b + 4)^2) = ((a + 2)^2 + (b - 5)^2)

Давайте разложим оба выражения и упростим их:

((a - 1)^2 + (b + 4)^2) = (a^2 - 2a + 1 + b^2 + 8b + 16) ((a + 2)^2 + (b - 5)^2) = (a^2 + 4a + 4 + b^2 - 10b + 25)

Обратите внимание, что все квадраты в обоих выражениях имеют одинаковые коэффициенты, но разные линейные члены. Однако, при раскрытии скобок, эти линейные члены сократятся:

a^2 - 2a + 1 + b^2 + 8b + 16 = a^2 + 4a + 4 + b^2 - 10b + 25

Теперь мы можем сократить все общие члены на обоих сторонах равенства:

-2a + 1 + 8b + 16 = 4a + 4 - 10b + 25

Далее, объединяем подобные члены:

-2a + 8b + 17 = 4a - 10b + 29

Вычитаем 4a и 8b с обеих сторон равенства:

-6a + 18b + 17 = 29

Вычитаем 17 с обеих сторон равенства:

-6a + 18b = 12

Делаем деление на -6:

a - 3b = -2

Таким образом, мы доказали, что векторы |AC| и |BD| имеют одинаковую длину, если выполнено условие a - 3b = -2. Это условие является необходимым и достаточным для равенства |AC| = |BD|.