Question

ПОМОГИТЕ!!! Хорда AB делит дугу окружности с центром O на две части,отношение которых равно 6:9.Найдите величину центрального угла AOB,если дуга AB имеет меньшую градусную меру

Answer 1

ΥАВ/υАМВ=6/9
6х+9х=360°
15х=360°
х=24°
υАВ=6*24°=144°
υАМВ=9*24°=216°
т.к. υАВ меньше ∠АОВ
нам нужен больший угол,
больший центральный ∠АОВ=216°
Ответ: 216°.
υ-обозначение дуги.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим меньшую часть дуги \(AB\) через \(6x\) (по отношению 6:9), а большую часть через \(9x\).

Так как градусная мера дуги пропорциональна их длине в соответствии с формулой дуги \(S = r \cdot \theta\), где \(S\) - длина дуги, \(r\) - радиус окружности, \(\theta\) - центральный угол в радианах, то мы можем сказать, что:

Для меньшей части дуги: \(6x = r \cdot \theta_1\)

Для большей части дуги: \(9x = r \cdot \theta_2\)

Здесь \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - центральные углы, соответствующие дугам \(6x\) и \(9x\) соответственно.

Нам известно, что \(6x\) - меньшая часть дуги, так что \(\theta_1\) будет меньше, чем \(\theta_2\).

Теперь, чтобы найти величину центрального угла \(AOB\), нам нужно найти сумму углов \(\theta_1\) и \(\theta_2\), так как это будет весь центральный угол, охватывающий всю дугу \(AB\).

Для этого систему уравнений можно решить относительно \(\theta_1\) и \(\theta_2\):

\[6x = r \cdot \theta_1\] \[9x = r \cdot \theta_2\]

Давайте разделим обе стороны уравнений на \(x\):

\[6 = r \cdot \frac{\theta_1}{x}\] \[9 = r \cdot \frac{\theta_2}{x}\]

Теперь мы можем записать отношение углов \(\theta_1\) и \(\theta_2\):

\(\frac{\theta_1}{x} : \frac{\theta_2}{x} = 6 : 9 = 2 : 3\)

Так как отношение углов равно отношению длин дуг, это означает, что отношение углов также равно 2:3.

Пусть \(\theta_1 = 2y\) и \(\theta_2 = 3y\), где \(y\) - некоторая константа.

Теперь мы знаем, что \(\theta_1 + \theta_2 = 2y + 3y = 5y\), и это равно полному центральному углу \(AOB\).

Мы должны помнить, что сумма центральных углов, охватывающих всю окружность, равна \(360^\circ\) или \(2\pi\) радиан, так как окружность имеет \(360^\circ\) или \(2\pi\) радиан в целом.

Теперь у нас есть уравнение:

\[5y = 2\pi\]

Чтобы найти \(y\):

\[y = \frac{2\pi}{5}\]

Теперь мы можем найти величину центрального угла \(AOB\):

\[\theta_1 + \theta_2 = 5y = 5 \cdot \frac{2\pi}{5} = 2\pi \, \text{радиан}\]

Таким образом, величина центрального угла \(AOB\) равна \(2\pi\) радиан, что эквивалентно \(360^\circ\).