Question

Помогите по геометрии, пожалуйста. Заранее спасибо! 1) В прямоугольной трапеции ABCD угол D=90 градусов. Точка К лежит на основании AD так, что AK=KD и BK перпендикулярно BC. Точка О — середина диагонали BD. Докажите, что AB:AD=BO:BC. Найдите площадь треугольника АВD, если площадь пятиугольника ABOCD равна 30 см². 2) На сторонах PO и PS треугольника OPS взяты точки A и В сооветственно так,что угол PAB=углу S. Биссектриса PC треугольника OPS делит сторону OS на два отрезка так,что OC:CS=4:3.Найдите отношение PB к PA. Только, пожалуйста, подробно. 23 даю за решение!

Answer 1

1)переформулируем то что надо доказать АВ/ВО=АD/ВС
поскольку АК=КD, то треугольник АВD- равнобедренный 
получается AB=BD
BO=(1/2)BD
AB/BO=2
ВС=КD=AK следовательно
AD/BC=2

площадь треугольника = 1/2 на высоту на основание
S(KOD)=S(COD) у них основания и высота равны
S(ABOCD)=30=5S(KOD)
S(KOD)=6
S(ABD)=24=4S(KOD)=24

2)треугольники PAB и PSO подобны по двум углам, одному общему и PAB=PSO
=> PB/PO=PA/PS
PO/PS=PB/PA
по теореме о биссектрисе:биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. получается OC/CS=OP/PS=4/3=PB/PA
Ответ:4/3

Answer 2

Задача 1: В прямоугольной трапеции ABCD угол D = 90 градусов. Точка К лежит на основании AD так, что AK = KD и BK перпендикулярно BC. Точка О — середина диагонали BD. Докажите, что AB:AD = BO:BC. Найдите площадь треугольника АВD, если площадь пятиугольника ABOCD равна 30 см².

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Предположим, что треугольник АВК подобен треугольнику АОВ.

Доказательство подобия треугольников АВК и АОВ:

1. Так как AK = KD, треугольник АКД является равнобедренным, и ∠KAD = ∠KDA. 2. Также, по условию, BK перпендикулярно BC, поэтому ∠ABK = ∠BAK = 90 градусов. 3. Треугольники АВК и АОВ имеют общий угол ВАО. 4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что треугольники АВК и АОВ подобны.

Таким образом, мы доказали подобие треугольников АВК и АОВ.

Из подобия треугольников АВК и АОВ следует, что отношение длин сторон AB к AD равно отношению длин сторон АО к ОВ, то есть AB:AD = AO:OV.

Также, по условию, точка О является серединой диагонали BD. Это означает, что ОВ = ОD.

Итак, имеем AB:AD = AO:OV = AO:OD.

Теперь рассмотрим треугольник BOC. Так как точка О — середина диагонали BD, то BC является медианой треугольника BOD. По свойству медианы, BC делит сторону OD пополам. То есть, OD = 2 * OC.

Подставим это значение в предыдущее равенство: AB:AD = AO:OD = AO:(2 * OC).

Так как треугольники ABO и CDO подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон. Пусть x обозначает длину стороны AB. Тогда длина стороны CD будет равна 2x, так как AB и CD параллельны.

Площадь пятиугольника ABOCD равна площади треугольника ABO плюс площадь треугольника CDO. По условию, площадь пятиугольника равна 30 см².

S(ABOCD) = S(ABO) + S(CDO) 30 = (1/2 * x * 2x) + (1/2 * 2x * x) 30 = x^2 + 2x^2 30 = 3x^2 x^2 = 10 x = √10

Таким образом, сторона AB равна √10 см.

Результаты решения:

1. Доказали, что AB:AD = AO:(2 * OC). 2. Нашли значение стороны AB: AB = √10 см.

Найдем площадь треугольника АВD:

Площадь треугольника АВD можно найти, используя формулу для площади треугольника:

S(АВD) = (1/2) * AB * AD

Подставим значения:

S(АВD) = (1/2) * √10 * √10 S(АВD) = 5 см²

Таким образом, площадь треугольника АВD равна 5 см².

Задача 2: На сторонах PO и PS треугольника OPS взяты точки A и B соответственно так, что угол PAB = углу S. Биссектриса PC треугольника OPS делит сторону OS на два отрезка так, что OC:CS = 4:3. Найдите отношение PB к PA.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами биссектрис треугольника и углами, образованными пересекающимися прямыми.

Доказательство свойства биссектрис треугольника:

1. Пусть треугольник ABC имеет биссектрису BD, которая делит угол ABC на два равных угла. 2. Проведем перпендикуляр BK к стороне AC. 3. Треугольники ABD и CBD имеют общий угол B и равные углы ABD и CBD. 4. Из пункта 3 следует, что треугольники ABD и CBD подобны. 5. Из подобия треугольников ABD и CBD следует, что отношение длин сторон AB к BC равно отношению длин сторон AD к DC, то есть AB:BC = AD:DC.

Теперь рассмотрим треугольник OPS. По условию, угол PAB равен углу S. Также, биссектриса PC делит сторону OS на два отрезка так, что OC:CS = 4:3.

По свойству биссектрис треугольника, отношение длин сторон OP к PS равно отношению длин сторон OA к AS.

Обозначим отношение PB к PA как x.

Тогда, отношение длин сторон PB к PA равно x:1.

Так как угол PAB равен углу S, треугольники PAB и PSB подобны.

Из подобия треугольников PAB и PSB следует, что отношение длин сторон PA к PB равно отношению длин сторон PS к BS, то есть PA:PB = PS:BS.

Также, по условию, OC:CS = 4:3.

Итак, имеем следующие отношения:

PB:PA = PS:BS PA:PB = PS:BS

Обозначим отношение BS к PS как y.

Тогда, отношение длин сторон BS к PS равно y:1.

Также, из условия OC:CS = 4:3, имеем OC:CS = 4:3 = (4y):(3y).

Поскольку OC:CS = 4y:3y, получаем, что OC:CS = 4:3.

Таким образом, отношение длин сторон PB к PA равно отношению длин сторон PS к BS, и это отношение также равно отношению длин сторон OC к CS.

Итак, имеем:

PB:PA = PS:BS = OC:CS = 4:3

Ответ: Отношение PB к PA равно 4:3.