Question

Точки P,Q,W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW=12. а) Докажите, что треугольник PQW -- прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD

Answer 1

Треугольник PQW не обязательно прямоугольный. По т. синусов для него получаем PW=2R·sin∠Q=20·sin∠Q, а по т. косинусов для него же
20²·sin²∠Q=16²+12²-2·16·12·cos∠Q. Решаем это уравнение, получаем cos∠Q=0 и cos∠Q=24/25. Т.е. в первом случае PQW - действительно прямоугольный (см. рис. 1), а второй случай также существует при выпуклом ABCD (см. рис. 2.)

Т.к. AB/PB=CB/QB=5/4, то треугольник ABC подобен треугольнику PBQ с коэффициентом подобия 5/4, откуда  AC=(5/4)·PQ=5*16/4=20 и AC||PQ. Аналогично, треугольник BCD подобен треугольнику QCW с коэффициентом 5, т.е. BD=5QW=5*12=60 и BD||QW, откуда угол между диагоналями ABCD равен  углу PQW. Поэтому, площадь ABCD вычисляется по формуле (1/2)AC·BD·sin(∠PQW).
Значит, в случае, когда PQW - прямоугольный
S(ABCD)=(1/2)·20·60·sin(90°)=600.
Во втором случае
S(ABCD)=(1/2)·20·60·√(1-24²/25²)=168.

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства окружностей и треугольников.

Доказательство прямоугольности треугольника PQW

Из условия задачи мы знаем, что радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10. Также дано, что PQ = 16 и QW = 12.

Шаг 1: Рассмотрим диаметр PW, который является хордой окружности и проходит через центр окружности. По свойству хорд, перпендикуляр к хорде, проходящий через центр окружности, делит хорду на две равные части.

Шаг 2: Поскольку PW является диаметром окружности, он делит треугольник PQW на два прямоугольных треугольника: PWD и QWD.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник PWD. Поскольку PW является диаметром окружности, угол PWD является прямым углом (угол в половине окружности).

Шаг 4: Аналогично, рассмотрим треугольник QWD. Угол QWD также является прямым углом.

Шаг 5: Таким образом, треугольник PQW имеет два прямых угла (PW и QW), что делает его прямоугольным треугольником.

Нахождение площади четырехугольника ABCD

Для нахождения площади четырехугольника ABCD мы можем разбить его на два треугольника: APQ и CWQ, а затем сложить их площади.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник APQ. Мы знаем, что AP:PB = 1:4, а PQ = 16. Следовательно, AP = (1/5) * PQ = (1/5) * 16 = 3.2.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник CWQ. Мы также знаем, что CW:WD = 1:4, а QW = 12. Следовательно, CW = (1/5) * QW = (1/5) * 12 = 2.4.

Шаг 3: Теперь мы можем найти площади треугольников APQ и CWQ, используя формулу площади треугольника: Площадь = (1/2) * основание * высота.

Площадь треугольника APQ = (1/2) * AP * PQ = (1/2) * 3.2 * 16 = 25.6. Площадь треугольника CWQ = (1/2) * CW * QW = (1/2) * 2.4 * 12 = 14.4.

Шаг 4: Наконец, сложим площади треугольников APQ и CWQ, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD: Площадь ABCD = Площадь APQ + Площ