Question

В параллелограмме ABCD угол A равен 30, а его биссектриса делит сторону BC на отрезки 7 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь параллелограмма.

Answer 1

Дано:
ABCD - параллелограмм
AN - биссектриса
BN = 7 см
CN = 2 см
A = 30°
Найти:
S

Решение:
AB = BN = 7 см (биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник)
Построим высоту BH на сторону AD
$\triangle$ABH - прямоугольный
BH = 0,5 × AB = 3,5 см (катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы)
AD = BC = BN + CN = 7 + 2 = 9 см (по свойству параллелограмма)
S = BH × AD = 3,5 × 9 = 31,5 см²

Ответ: 31,5 см²

Answer 2

Для решения задачи давайте обозначим данное в условии:

Пусть \(AD = x\) (сторона параллелограмма). Также, угол \(A = 30^\circ\). Биссектриса угла \(A\) делит сторону \(BC\) на отрезки в 7 см и 2 см.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник \(ABC\). У нас есть угол \(A = 30^\circ\) и биссектриса, которая делит сторону \(BC\) на два отрезка в 7 см и 2 см. Зная угол и длины сторон, мы можем использовать тригонометрические функции для вычисления других сторон треугольника.

Итак, длина отрезка \(BC\) равна \(7 + 2 = 9\) см.

Теперь, зная длины сторон \(AB\) и \(BC\), мы можем найти площадь треугольника \(ABC\) по формуле для площади треугольника:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin A \]

Подставим значения:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 9 \cdot \sin 30^\circ \]

Так как \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), упростим выражение:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{4} \cdot x \]

Теперь, площадь параллелограмма \(ABCD\) равна удвоенной площади треугольника \(ABC\):

\[ S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot x = \frac{9}{2} \cdot x \]

Таким образом, площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(\frac{9}{2} \cdot x\). Осталось найти значение \(x\).

Рассмотрим треугольник \(ADC\). В этом треугольнике у нас есть угол \(A = 30^\circ\), и мы знаем длины сторон \(AD\) и \(CD\), которые равны \(x\) и \(9\) см соответственно.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса:

\[ \cos A = \frac{AD}{CD} \]

Подставим значения:

\[ \cos 30^\circ = \frac{x}{9} \]

Так как \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), упростим выражение:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{9} \]

Теперь найдем значение \(x\):

\[ x = \frac{9 \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в формулу для площади параллелограмма:

\[ S_{ABCD} = \frac{9}{2} \cdot \frac{9 \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Упростим это выражение:

\[ S_{ABCD} = \frac{81 \cdot \sqrt{3}}{4} \]

Таким образом, площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(\frac{81 \cdot \sqrt{3}}{4}\) квадратных сантиметра.