Question

Из формул радиуса описанной окружности около правильного треугольника R=корень из 3 деленный на 3 * a и радиуса вписанной окружности в правильный треугольник r= корень из 3 деленный на 6 * a Выразите радиус описанной окружности R через радиус вписанной окружности r.

Answer 1

a=2*sqrt(3)*r, SQRT- КОРЕНЬ,

R=2*sqrt(3)*r/sqrt(3)

R=2*r

 

Answer 2

Для правильного треугольника с стороной \( a \) радиус описанной окружности \( R \) и радиус вписанной окружности \( r \) связаны следующим образом:

\[ R = \frac{r}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} \]

Здесь используется тот факт, что в правильном треугольнике угол между радиусом описанной окружности и стороной треугольника равен \( \frac{\pi}{3} \).

Вспомним, что в правильном треугольнике угол между стороной и радиусом вписанной окружности равен \( \frac{\pi}{2} \). Таким образом, можно использовать тригонометрическое соотношение:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{r}{a} \]

Отсюда можно выразить радиус вписанной окружности \( r \):

\[ r = a \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Теперь подставим это значение в формулу для радиуса описанной окружности \( R \):

\[ R = \frac{a \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} \]

Упрощая, получаем:

\[ R = a \]

Таким образом, радиус описанной окружности \( R \) равен стороне правильного треугольника \( a \).