Question

В правильной треугольной пирамиде высота основания равна 3, Двугранный угол между основанием и боковой гранью равен 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Треугольник - равносторонний

S= 9 * √3/4   

Найдем высоту, чтобы вычислить площадь боковой грани

Угол OMK=45

OK / MK = cos 45

OK / MK = √2/2

OK=R(радиусу вписанной окружности)

OK = √3/6 a 

OK = √3/6 * 3 =  √3/2   

OK / MK = √2/2 
√3/2 / MK = √2/2 
MK =   √3/√2

Вычислим площадь боковой грани:

S боковой грани = 1/2 * 3√( 3/2 ) 

S = 9√3/4 + 3/2 √( 3/2 ) 

 

Answer 2

Для решения задачи найдем боковую грань треугольной пирамиды. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с известной высотой (высота основания пирамиды) и углом между гипотенузой и катетом (двугранный угол), мы можем использовать тригонометрические соотношения.

Обозначим высоту основания пирамиды через \(h\), длину боковой грани через \(a\) и половину длины основания через \(r\). Тогда у нас есть следующие соотношения:

\[\tan(60^\circ) = \frac{r}{h}.\]

Мы также знаем, что \(h = 3\), и можем использовать это для нахождения \(r\):

\[\tan(60^\circ) = \frac{r}{3}.\]

Решив это уравнение, найдем \(r\):

\[r = 3 \tan(60^\circ).\]

Теперь, используя найденное значение \(r\), мы можем найти длину боковой грани \(a\) с использованием теоремы Пифагора:

\[a = \sqrt{r^2 + h^2}.\]

Подставим значения и рассчитаем \(a\):

\[a = \sqrt{(3 \tan(60^\circ))^2 + 3^2}.\]

Теперь, когда у нас есть длина боковой грани \(a\), мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды, которая представляет собой поверхность треугольной призмы. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot P,\]

где \(P\) - периметр основания. В случае треугольной пирамиды с основанием \(ABC\) и боковой гранью \(AED\), периметр основания равен сумме длин сторон треугольника \(ABC\):

\[P = AB + BC + CA.\]

Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(3 \tan(60^\circ))^2 + 3^2} \cdot (AB + BC + CA).\]

Наконец, чтобы найти полную площадь поверхности пирамиды, добавим к площади боковой поверхности площадь основания. Поскольку основание у нас треугольное, площадь основания можно найти с использованием формулы Герона:

\[S_{\text{осн}} = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - CA)},\]

где \(p\) - полупериметр, \(p = \frac{AB + BC + CA}{2}.\)

Таким образом, полная площадь поверхности пирамиды будет равна:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}.\]

Подставим все значения и рассчитаем ответ.