Question

Найдите угол между векторами а и b заданными своими координатами а(1;√3) и b(3;√3). Кому не сложно, пожалуйста)

Answer 1

 sqrt-корень, ^2-в квадрате

cos(a^b)=(1*3 + sqrt(3)*sqrt(3)) / ( sqrt ( 1^2 + (sqrt(3))^2)*(3^2 + (sqrt(3))^2) = (3+3) / sqrt (4*12) = 6 / sqrt(48) = 6 / 4*sqrt(3) = 3 / 2*sqrt(3) = 3*sqrt(3) / 6 = sqrt(3) / 2. Следовательно, угол между векторами a и b равен 30 градусов

Answer 2

Чтобы найти угол между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), заданными своими координатами, можно воспользоваться формулой для нахождения угла между векторами через скалярное произведение:

\[ \cos{\theta} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \cdot \lVert \mathbf{b} \rVert} \]

Где: - \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) - скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). - \( \lVert \mathbf{a} \rVert \) и \( \lVert \mathbf{b} \rVert \) - длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) соответственно.

Для начала вычислим скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

Где \( a_x \) и \( a_y \) - координаты вектора \( \mathbf{a} \), \( b_x \) и \( b_y \) - координаты вектора \( \mathbf{b} \).

Из условия \( \mathbf{a}(1; \sqrt{3}) \) и \( \mathbf{b}(3; \sqrt{3}) \), получаем:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 3 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 + 3 = 6 \]

Теперь найдем длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

\[ \lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \] \[ \lVert \mathbf{b} \rVert = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} \]

Для вектора \( \mathbf{a}(1; \sqrt{3}) \):

\[ \lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]

Для вектора \( \mathbf{b}(3; \sqrt{3}) \):

\[ \lVert \mathbf{b} \rVert = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Теперь мы можем вычислить угол \( \theta \):

\[ \cos{\theta} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \cdot \lVert \mathbf{b} \rVert} = \frac{6}{2 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Чтобы найти угол \( \theta \), возьмем арккосинус от \( \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ \theta = \arccos{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \frac{\pi}{6} \]

Таким образом, угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( \frac{\pi}{6} \) радиан или \( 30^\circ \).