Question

Высоты, проведенные из вершин меньшего основания равнобедренной трапеции, делят большее основание на три отрезка, сумма двух из которых равна третьему. Найдите площадь этой трапеции, если ее меньшее основание и высота равны по 6 см.

Answer 1

Площадь трапеции равна произведению высоты на ее среднюю линию ( на полусумму оснований)

См. рисунок

Answer 2

Давайте начнем с некоторых обозначений для удобства:

Пусть \(ABCD\) - равнобедренная трапеция, где \(AB\) и \(CD\) являются основаниями, \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны. \(H_1\) и \(H_2\) - высоты, проведенные из вершин \(A\) и \(B\) соответственно.

Также у нас есть информация о том, что \(H_1\) и \(H_2\) делят большее основание \(CD\) на три отрезка, сумма двух из которых равна третьему. Пусть эти отрезки будут \(x\), \(y\) и \(z\), где \(x + y = z\) и каждый из отрезков равен \(CD/3\).

Сначала найдем значения \(x\), \(y\) и \(z\):

\(x + y = z\) (1) \(x + z = CD/3\) (2) \(y + z = CD/3\) (3)

Из (2) и (3) получаем: \(x = y = z = CD/9\)

Из условия задачи мы знаем, что \(AB = 6\) см, \(H_1 = H_2 = 6\) см. Так как \(AB = CD/3\), то \(CD = 18\) см.

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, используем формулу для площади равнобедренной трапеции:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

Где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота трапеции.

Подставляем известные значения:

\[S = \frac{(AB + CD) \cdot H_1}{2} = \frac{(6 + 18) \cdot 6}{2} = \frac{24 \cdot 6}{2} = 72\ \text{см}^2\]

Таким образом, площадь этой равнобедренной трапеции составляет \(72\ \text{см}^2\).