Question

Даны два равнобедренный треугольника ABC и ABD с общим основанием AB. Докажите, что AB и CD перпендикулярны, если точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB

Answer 1

Треугольники р/б, значит ас=св и ад=вд. ав- общая сторона, т.е. треугольники равны по трем сторонам.<сад=<свд
ао=ов

Answer 2

Для начала, обозначим углы треугольников ABC и ABD как ∠CAB, ∠ABC и ∠DAB, ∠ABD соответственно.

Так как треугольники ABC и ABD равнобедренные, то у них равны основания AB и AD, а также равны углы CAB и DAB. Это означает, что треугольники ABC и ABD подобны.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них есть две пары равных углов: ∠CAB = ∠CDA (это следует из подобия треугольников ABC и ABD) и ∠ABC = ∠CDA (по условию задачи, треугольники ABC и CDA равнобедренные).

По теореме о трех равных углах, треугольники ABC и CDA равны, и у них равны все стороны и углы. В частности, у них равны стороны AB и CD.

Теперь рассмотрим треугольники ACD и ABD. У них есть две пары равных углов: ∠CAD = ∠BAD (по условию задачи, треугольники ABC и ABD равнобедренные) и ∠ACD = ∠ABD (это следует из равенства сторон AB и CD).

По теореме о трех равных углах, треугольники ACD и ABD равны, и у них равны все стороны и углы. В частности, у них равны стороны AD и CD.

Так как AB и AD - это две стороны равных треугольников ACD и ABD, а CD - это общая сторона, то по теореме о перпендикулярности биссектрисы к основанию, AB и CD перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что если точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB, то AB и CD перпендикулярны.