Question

Объем куба равен 64. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой вершины

Answer 1

Очевидно, что длина ребра куба равна 4. Если соединить отрезком середины двух ребер, выходящих из одной вершины, (пусть это будут горизонтальные ребра), то на горизонтальной грани получим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами по 2. Площадь его равна (1/2)*2*2=2. По этому отрезку (гипотенузе треугольника) проведем вертикальную плоскость согласно условию. Получим прямую призму, в основании которой лежит вышеобозначенный треугольник, а высота равна ребру куба, т.е. 2. Объем этой призмы равен 2*4=8.
Для решения таких задач очень удобно использовать наглядные модели, которые можно сделать из кусочка сыра, сырого картофеля, моркови и т.п.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знать формулу объема треугольной призмы. Объем треугольной призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту.

В данной задаче основанием призмы является треугольник, образованный плоскостью, проходящей через середины двух ребер куба. Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника по длинам его сторон. Однако, нам не даны длины сторон треугольника.

Вместо этого, мы можем использовать факт, что плоскость, проходящая через середины двух ребер, делит каждое из этих ребер пополам. Это означает, что эта плоскость параллельна их третьему ребру, выходящему из той же вершины. Таким образом, третье ребро также делится пополам этой плоскостью.

Теперь у нас есть два равных прямоугольных треугольника, образованных этой плоскостью и двумя ребрами куба. Мы можем найти площадь одного из этих треугольников, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов треугольника.

Поскольку плоскость делит каждое ребро пополам, длина каждого катета равна половине длины соответствующего ребра. Таким образом, площадь одного треугольника равна (1/2) * (a/2) * (b/2) = (1/4) * a * b.

Так как у нас два таких треугольника, площадь основания призмы равна (1/4) * a * b * 2 = (1/2) * a * b.

Теперь, чтобы найти объем призмы, мы должны умножить площадь основания на высоту. Высоту призмы можно найти как длину третьего ребра, которое также делится пополам плоскостью. Таким образом, высота призмы равна половине длины третьего ребра, то есть h = l/2.

Таким образом, объем треугольной призмы равен V = (1/2) * a * b * (l/2) = (1/4) * a * b * l.

В данной задаче объем куба равен 64, что означает, что a * a * a = 64. Отсюда следует, что a = 4.

Также важно отметить, что третье ребро куба, выходящее из той же вершины, имеет такую же длину, как и другие два ребра, то есть l = a = 4.

Теперь мы можем подставить значения a = 4 и l = 4 в формулу объема призмы: V = (1/4) * a * b * l = (1/4) * 4 * b * 4 = b.

Таким образом, объем треугольной призмы равен b.

Итак, объем треугольной призмы, отсекаемой от куба, равен 64.