Question

Найти нормальный вектор N плоскости, проходящей через точки P(4,3,-1) и Q(2,4,1) и перпендикулярной к плоскости x – 3y + 2z – 6=0.

Answer 1

Вектор нормали к плоскости x - 3y + 2z - 6: p(1; -3; 2). Возьмём точку, принадлежащую данному вектору: (1; -3; 2) и составим уравнение плоскости по трём точкам:

$\left[\begin{array}{ccc}x - x_{0} &x_{1} - x_{0}& x_{2} - x_{0}\\y - y_{0} &y_{1} - y_{0}& y_{2} - y_{0}\\z - z_{0} &z_{1} - z_{0}& z_{2} - z_{0}\end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}x - 1 &4 - 1 & 2 - 1 \\y + 3 &3 + 3& 4 + 3\\z - 2 & -1 - 2 & 1 - 2 \end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}x - 1 &3 & 1\\y + 3 &6& 7\\z - 2 & -3 & -1 \end{array}\right] \\ \\ (-6+21)(x+1) - (-3+3)(y+3) + (21+6)(z-2) = \\ 15x + 15 + 0y + 0 + 15z - 30 = 15x + 15z + 45.$

Снимаем вектор нормали: (15; 0; 15) или (1; 0; 1).

Answer 2

Плоскость, проходящая через точки P(4,3,-1) и Q(2,4,1)

Для нахождения нормального вектора N плоскости, проходящей через две заданные точки P и Q, мы можем воспользоваться кросс-произведением векторов.

Шаг 1: Найдем вектор, направленный от точки P к точке Q. Для этого вычтем координаты точки P из координат точки Q:

V = Q - P
   = (2, 4, 1) - (4, 3, -1)
   = (-2, 1, 2)

Шаг 2: Теперь, чтобы найти нормальный вектор N плоскости, мы можем взять кросс-произведение вектора V и вектора, перпендикулярного плоскости x – 3y + 2z – 6 = 0. Для этого нам нужно найти вектор, координаты которого будут образовывать систему уравнений плоскости x – 3y + 2z – 6 = 0.

Шаг 3: Запишем данный вектор в виде столбца координат:

C = (1, -3, 2)

Шаг 4: Теперь мы можем найти нормальный вектор N плоскости, взяв кросс-произведение векторов V и C:

N = V x C
   = (-2, 1, 2) x (1, -3, 2)

Вычислим кросс-произведение:

N = ((1 * 2) - (2 * -3), (-2 * 2) - (1 * 1), (-2 * -3) - (1 * 1))
   = (8, -5, -5)

Нормальный вектор плоскости

Таким образом, нормальный вектор N плоскости, проходящей через точки P(4,3,-1) и Q(2,4,1) и перпендикулярной к плоскости x – 3y + 2z – 6 = 0, равен N = (8, -5, -5).