Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2 , y=2x-2

Answer 1

Находим крайние точки фигуры:
x^2-2=2x-2,
x^2-2x = 0,
х(х-2) = 0.
Получаем 2 точки: х = 0 и х = 2.
На этом участке прямая выше параболы. Площадь фигуры - это:
$\int\limits^2_0 {(2x-2-x^2+2)} \, dx = \frac{2x^2}{2}- \frac{x^3}{3} |_0^2=4- \frac{8}{3}= \frac{4}{3} .$ ≈ 1,3333.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 2 и y = 2x - 2, мы должны найти точки их пересечения и интегрировать функцию, которая представляет разность между этими двумя кривыми.

Найдем точки пересечения:

Для этого приравняем уравнения:

x^2 - 2 = 2x - 2

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 - 2x = 0

x(x - 2) = 0

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Вычислим площадь:

Для вычисления площади между кривыми, возьмем определенный интеграл от разности функций:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) = 2x - 2 и g(x) = x^2 - 2.

Так как мы нашли, что точки пересечения находятся в x = 0 и x = 2, то нашими пределами интегрирования будут a = 0 и b = 2.

Итак, площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

S = ∫[0,2] (2x - 2 - (x^2 - 2)) dx

S = ∫[0,2] (2x - 2 - x^2 + 2) dx

S = ∫[0,2] (-x^2 + 2x) dx

S = [-x^3/3 + x^2] [0,2]

S = (-2^3/3 + 2^2) - (0^3/3 + 0^2)

S = (-8/3 + 4) - (0 + 0)

S = (-8/3 + 12/3)

S = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 2 и y = 2x - 2, равна 4/3.