Question

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K- середина ребра A1B1, а точка M делит ребро ACв отношении AM:NC=1:3. А) докажите что KM перпендикулярно АС. Б)найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВС ,если АВ=12 , АС=16 и AA1=6

Answer 1

Пусть А- начало координат.
Ось Х - АС
Ось У - перпендикулярно АС в сторону В
Ось Z - AA1

Высота к АС=√(12^2-(16/2)^2)=4√5

Координаты интересующих точек
С(16;0;0)
К(4;2√5;6)
М(4;0;0)

Направляющий вектор КМ(0;-2√5;-6)

Угол между КМ и АС
cos a =| 16*0- 2√5*0-6*0|/|AC|/|KM|=0
a = π/2 - прямые перпендикулярны.

Уравнения плоскости АВС
z=0

Угол между КМ и АВС
sin a = |-6|/√(20+36)/1=3/√14

Answer 2

А) Для доказательства того, что KM перпендикулярно AC, рассмотрим треугольник A1KM. Так как K - середина ребра A1B1, то по теореме о середине треугольника KM параллельно A1B1 и равно A1B1/2. Также, так как M делит ребро AC в отношении AM:NC=1:3, то AM=AC/4 и MC=3AC/4. Теперь рассмотрим треугольник ACM. Так как AM=AC/4 и MC=3AC/4, то KM перпендикулярно AC.

Б) Чтобы найти угол между прямой KM и плоскостью ABC, начнем с того, что найдем векторное произведение векторов KM и AB. Затем найдем модуль этого векторного произведения и разделим его на произведение модулей векторов KM и AB. Это даст нам синус угла между прямой KM и плоскостью ABC. Таким образом, мы найдем угол между прямой KM и плоскостью ABC.